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Dérivabilité d'une fonction de la variable complexe
- f est holomorphe en zo s'il existe I! E C tel que, pour tout complexe h dans
un voisinage de 0, on ait :
f(zo + h) = f ( zo) +hl!+ lhl c(h)
où c désigne une fonction de C dans C telle que lim1i-o i:;(h) = O. Le com1te· :
plexe f, est alors la dérivée de f en zo.
Remarque Une application de C dans C holomorphe sur tout C est appelée
Jonction entière.
<>
Exemples
1. Une application constante sur C est holomorphe sur C, à dérivée nulle puisque
pour tout zo E Con a D- z 0( z) = O.
2. L'application identité z E C t--t z est holomorphe sur Cet admet pour dérivée
la fonction constante égale à 1 puisque pour tout zo E Con a D- zo ( z) = �=�� = 1.
3. L'application z E C t--t z 2 est holomorphe sur C. Sa dérivée est l'application z E C t--t 2z. En effet, étant donné un nombre complexe z0, pour tout
z E C \ { zo }, on a
z 2 - z6
D- zo ( z) =
= z + zo d'où
z - zo
lim D- z 0( z) = 2zo.
z-zo
zEC
4. L'application z E C* t--t l/z est holomorphe sur C* et sa dérivée est l'application z E C* t--t -1 / z 2 . En effet, si z0 désigne un complexe non nul alors pour
tout z E C* \ {zo } on a
1
1
A
( )
_
Z
- zo _ 1
Uzo Z - --- - - -
Z - Zo
ZZQ d'où
5. L'application z E C t--t Im( z) n'est holomorphe en aucun complexe zo E C.
En effet, nous avons montré p. 185 que pour tout zo E .C la quantité
D- zo ( z) = Im( z) - Im( zo)
Z - Zo
n'avait pas de limite lorsque z tendait vers zo.
Exercice 4.5
1 - Montrer que pour tout n E N*, l'application f : z E C t--t z n est
holomorphe sur C et déterminer sa dérivée.
2 - Montrer que l'application z E C t--t l zl est holomorphe nulle part.