Fo nctions complexes de la variable complexe
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PROPOSITION 4.12 Soient

valeurs dans C et f une application d'un ouvert U de C à valeurs dans C tels
que cjJ(]a, b[) c U. Si

continue en zo = cjJ( to) (resp. sur U) alors f o cjJ : t E]a,b[i--+ f(cjJ( t)) E C est
continue en t o {resp. sur ]a, b[).
Exercice 4.4 En s'inspirant de la preuve de la proposition 4.6, démontrer
la proposition 4.12.
4.6 Dérivabilité d'une fonction de la variable complexe
4.6.1 Fonctions holomorphes et fonctions différentiables
La dé finition suivante généralise de manière naturelle aux fonctions de la variable complexe la notion de dérivée pour une fonction de la variable réelle.
DÉFINITION 4. 13 (Fonction holomorphe)
X Soient U un ouvert non vide de C, zo un élément de U et f une application
de U dans C. On dit que f est holomorphe (ou C-dérivable) en zo si la
quantité D.. f zo définie par
D.. f zo ( z) = f(z) - f(zo)
z - zo
admet une limite quand z tend vers zo. Cette limite, notée f '( zo), est appelée
dérivée de f en zo.
X On dit que f est holomorphe sur un ouvert U inclus dans U si pour tout
z E U, f est holomorphe en z. On appelle alors dérivée de f l'application de U
dans C qui à z EU associe le complexe f '( z) . On note f ' cette application.
Il existe plusieurs manières de reformuler la définition 4.13.
- f est holomorphe en zo si la quantité tCf ( zo + h) - f(zo)) admet une limite f
quand le complexe h tend vers O. Le complexe f est alors la dérivée de f
en zo.
- f est holomorphe en zo s'il existe f E C tel que
Le complexe f est alors la dérivée de f en zo.