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Dérivabilité d'une fonction de la variable complexe
fonction de la variable complexe est une fois C-dérivable (autrement dit holomorphe) sur un ouvert, alors elle admet des dérivées à tout ordre sur cet
ouvert.
Disposant de la notion d'application R-linéaire, nous allons pouvoir introduire
la notion de différentielle pour une fonction de C dans C. Signalons que cette
notion a un caractère très général qui sera étudié en détail au chap. 10.
DÉFINITION 4.14 (Fonction différentiable)
Soient U un ouvert non vide de C et f une application de U dans C. On dit
que f est différentiable en zo E U s'il existe une application R-linéaire L de C
dans C telle que pour tout complexe h dans un voisinage de 0 on ait
f(zo + h) - f(zo) = L(h) + o o(/h/).
L'application R-linéaire L est notée df zo et est appelée différentielle de f
en zo .
L'application R-linéair e L dans la définition 4.14 est unique. On le démontre
en supposant qu'il existe deux applications R-linéaire L i et L 2 telles que pour
tout complexe h dans un voisinage de 0 on ait
f (zo + h) - f(zo) = L i (h) + o o(/h/) et f (zo + h) - f (zo) = L 2 (h) + o o(/h/) .
Par différence, l'application L = L i - L 2 vérifie L(h) = o 0(/h/), autrement dit il
existe une fonction t: de C dans C tel que L(h) = /h/t:(h) avec lim1i___, o c(h) = O.
Pour tout t E R*, on a
1
1
/t/
- L(th) = - /th/ t:(th) = - /h/ t:(th).
t
t
t
Comme l'application t E R* r--+ /t//t est bornée, on en déduit que pour tout
h E lR on a Jim t ___, o t L(th) = O. Or, par linéarité de l'application L, on a
t L(th) = L(h). On en déduit que L(h) = 0 pour tout h E JR, autrement dit
que L =O. On a donc L i = L 2 .
Si f est une application de U dans C qui est différentiable en tout z E U, on
appelle différentielle de f, et on note df, l'application de U dans l'ensemble
.CR(C, q des applications JR-linéaire de C dans C définie par :
df : z E u � df z E .CIR(c, q.
Remarque De manière équivalente, f est différentiable en z0 E U s'il existe
une application R-linéaire L de C dans C telle que
lim f(zo + h) - f(zo) - L(h) = O.
h->O
/h/
h E IC*
On pourra comparer cette expression à celle de la définition 4.13.
0
Dérivabilité d'une fonction de la variable complexe
fonction de la variable complexe est une fois C-dérivable (autrement dit holomorphe) sur un ouvert, alors elle admet des dérivées à tout ordre sur cet
ouvert.
Disposant de la notion d'application R-linéaire, nous allons pouvoir introduire
la notion de différentielle pour une fonction de C dans C. Signalons que cette
notion a un caractère très général qui sera étudié en détail au chap. 10.
DÉFINITION 4.14 (Fonction différentiable)
Soient U un ouvert non vide de C et f une application de U dans C. On dit
que f est différentiable en zo E U s'il existe une application R-linéaire L de C
dans C telle que pour tout complexe h dans un voisinage de 0 on ait
f(zo + h) - f(zo) = L(h) + o o(/h/).
L'application R-linéaire L est notée df zo et est appelée différentielle de f
en zo .
L'application R-linéair e L dans la définition 4.14 est unique. On le démontre
en supposant qu'il existe deux applications R-linéaire L i et L 2 telles que pour
tout complexe h dans un voisinage de 0 on ait
f (zo + h) - f(zo) = L i (h) + o o(/h/) et f (zo + h) - f (zo) = L 2 (h) + o o(/h/) .
Par différence, l'application L = L i - L 2 vérifie L(h) = o 0(/h/), autrement dit il
existe une fonction t: de C dans C tel que L(h) = /h/t:(h) avec lim1i___, o c(h) = O.
Pour tout t E R*, on a
1
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/t/
- L(th) = - /th/ t:(th) = - /h/ t:(th).
t
t
t
Comme l'application t E R* r--+ /t//t est bornée, on en déduit que pour tout
h E lR on a Jim t ___, o t L(th) = O. Or, par linéarité de l'application L, on a
t L(th) = L(h). On en déduit que L(h) = 0 pour tout h E JR, autrement dit
que L =O. On a donc L i = L 2 .
Si f est une application de U dans C qui est différentiable en tout z E U, on
appelle différentielle de f, et on note df, l'application de U dans l'ensemble
.CR(C, q des applications JR-linéaire de C dans C définie par :
df : z E u � df z E .CIR(c, q.
Remarque De manière équivalente, f est différentiable en z0 E U s'il existe
une application R-linéaire L de C dans C telle que
lim f(zo + h) - f(zo) - L(h) = O.
h->O
/h/
h E IC*
On pourra comparer cette expression à celle de la définition 4.13.
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