ce qui implique que
Séries de fonctions
sup I Pn(x) I :::; sup -- = -- .
1 x n +l 1 1
xE( 0 , 1 ]
xE ( 0 , 1 ] n + 1
n + 1
121
D'après le corollaire 2.1 p. 75, on en déduit que la suite d'applications (Pn)n
converge uniformément sur [O, 1] vers l'application nulle, ce qui permet de
conclure que la série d'applications L n fn converge uniformément sur [O, 1].
Remarquons que pour cette série d'applications on a convergence uniforme sur
[O, 1] mais convergence absolue sur [O, 1[ uniquement.
2. La série d'applications L n f n de terme général f n : x E lR. 1--+ x n /n! converge
simplement sur lR. et a pour somme la fonction exponentielle mais il n'y a pas
convergence uniforme sur lR.. Pour tous n E N et x E JR., on a
+oo
+oo k
n +l
Pn(x) = L f k (x) = L � ! ?: (: + 1)!
k =n+l
k =n +l
et comme l'application x E lR. 1--+ x n +l /(n + 1)! n'est pas bornée sur JR., il en va
de même de l'application Pn · La suite d'applications (Pn)n ne converge donc
pas uniformément sur lR. vers l'application nulle, ce qui d'après le corollaire 3.1
implique que la série d'applications L n fn ne converge pas uniformément sur lR..
3. Nous avons vu que la série L n x n était simplement convergente sur ] - 1, 1[
de somme l'application ifJ : x E] - 1, l[i--+ l � x . Montrons que pour tout réel
r E]O, 1[ fixé, elle converge uniformément sur [-r, r] mais qu'elle ne converge
pas uniformément sur J - 1, 1[. Pour tout n E N, on a
""k
X
r
=+oo
1 n +l 1 n +l
sup Pn(x) = sup � x = sup -- = -- .
xE(- r, ) 1 xE[-r,) k =n+l 1 xE[-r,r] 1 - X 1 - r
Pour r E]O, 1[, on a limn- +oo �·..:; = 0, ce qui, d'après la proposition 2.2
p. 74, implique que la suite d'applications (Pn)n converge uniformément sur
[-r, r] vers l'application nulle. On en conclut que la série d'applications L n fn
converge uniformément sur [-r, r] .
Remarquons que comme la fonction x 1--+ x n +l /(1 - x) n'étant pas bornée
sur ] - 1, 1[, la suite d'applications (Pn)n ne converge pas uniformément sur
] - 1, 1[ vers l'application nulle et par conséquent la série d'applications L n fn
ne converge pas uniformément sur ] - 1, l[.
4. Nous avons vu que la série d'applications L n f n de terme général
f n : x E] - � , � [1--+ 2�. tan ( 2 � ) converge simplement sur ] - � , � [ et a pour
somme l'application
,1.. .
] - 1!:. 1!:. [
{ tan(x) + � - cotan(x)
'+'.XE
2' 2 ,___. 0
Si X =/= Ü
si X = Ü