120
Convergence d'une série de fonctions
DÉFINITION 3.4 (Convergence uniforme)
On dit que la série d'applications L n fn de X dans lR converge uniformément
sur X si la suite des sommes partielles (n)n de terme général
n : x E X i--+ L� =O f k ( x) est une suite d'applications qui converge unifo rmément sur X.
On déduit de la proposition 2.2 p. 74 le résultat suivant.
PROPOSITION 3.5 Soit L n fn une série d'applications de X dans lR convergeant simplement sur X et admettant pour somme l'application de X dans R
Une condition nécessaire et suffisante pour que la série L n fn converge unifo rmément sur X est que la suite numérique de terme général
n
Un= sup l(x) - L fk (x) I
x EX
k=O
soit définie et converge vers O.
En introduisant la suite d'applications (Pn)n de X dans IR, où pour tous n EN
et x EX
n
+oo
Pn (x) = k=O
k=n+l
on peut reformuler la proposition 3.5 de la manière suivante.
COROLLAIRE 3.1 Une condition nécessaire et suffisante pour que la série
d'applications L n fn de X dans lR converge uniformément sur X est que la
suite d'applications (Pn)n de terme général Pn : x E X � Lt:.'. +i f k (x)
converge uniformément sur X vers l'application nulle.
On pourra comparer l'énoncé du corollaire 3.1 à celui de la proposition 3.1.
Reprenons les différents exemples de la p. 115 et étudions la convergence uniforme de ces séries d'applications.
Exemples
1. Montrons que la sene d'applications L n f n dont le terme général est
fn : x E lR i--+ ( -� ) n x n converge uniformément sur [O, l] . Nous avons établi
que la somme de cette série était l'application : x E [ü, 1] i--+ - ln( l + x) .
D'après la relation (1) p. 115, on a pour tous n EN et x E (0, 1]
n
(- l) n+ l x n +l
Pn (x) = n
+ 1 ( l + c) n + l ,
k=O