Séries de fonctions
119
Exemples
1 . La série d'applications L n f n de terme général f n : x E � f-+ � x n converge
absolument sur R En effet, pour tous n E N et x E �. la quantité
1 fn + i (x) 1
= _M_
fn (x)
n + l
tend vers 0 lorsque n tend vers +oo. Le critère de D'Alembert indique que pour
tout x E � la série numérique L n fn (x) converge absolument ce qui signifie
que la série d'applications L n fn converge absolument sur R
2. Nous avons vu que la série d'applications L n f n dont le terme général est
fn : x E � f-+ (-�)" x n convergeait simplement sur [O, l]. Le critère de D'Alem-.
bert permet d'établir que la série d'applications I: n f n converge absolument
sur [O, 1[ car pour tous n EN et x E [O, l[, la quantité
1 fn +1 (x) 1
=
_ n _ x
fn (x)
n+l
tend vers x quand n tend vers +oo et x < l. Pour x = 1, le critère de D'Alembert ne permet pas de conclure ; toutefois fn ( l ) = (-�)" et la série harmonique
alternée L n (-�)" est semi-convergente. Il n'y a pas donc convergence absolue
en 1 de la série d'applications L n f n ·
3. Le critère de D'Alembert permet également d'établir que la série d'applications L n fn de terme général fn : x E] - 1, l[f-+ x n converge absolument sur
) - 1 , l[.
4. La série d'applications L n f n de terme général fn : x E ]-� , � [f-+ 2�. tan ( 2 �. )
converge absolument sur ] - � , � [. En effet, pour x E] - �,O[U]O, � [ fixé on
a limn -++oo x/ 2 n
=
0 ce qui, compte tenu de la relation tan(u) ""' u, imo
l
.
(4)
p 1que que
Comme la série numérique L n �a:,I converge pour tout x E � (on peut utiliser
le critère de D'Alembert pour l'établir), la série numérique L n fn (x) converge
absolument pour tout x E] - � , O[U]O, � [. Pour x = 0, la série Ln fn (x) est la
série nulle qui converge également absolument.
La suite des sommes partielles associée à une série d'applications permet de
définir la notion de convergence uniforme pour les séries d'applications à partir
de la notion de convergence uniforme pour les suites d'applications, voir la
définition 2 . 2 p. 73.
< 4 J On sera vigilant au fait que le cas x = 0 soit être traité à part car Jp.l est alors nul, voir
le chap. 15 du Cours de première année, en particulier la définition 15.3 p. 688.
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Exemples
1 . La série d'applications L n f n de terme général f n : x E � f-+ � x n converge
absolument sur R En effet, pour tous n E N et x E �. la quantité
1 fn + i (x) 1
= _M_
fn (x)
n + l
tend vers 0 lorsque n tend vers +oo. Le critère de D'Alembert indique que pour
tout x E � la série numérique L n fn (x) converge absolument ce qui signifie
que la série d'applications L n fn converge absolument sur R
2. Nous avons vu que la série d'applications L n f n dont le terme général est
fn : x E � f-+ (-�)" x n convergeait simplement sur [O, l]. Le critère de D'Alem-.
bert permet d'établir que la série d'applications I: n f n converge absolument
sur [O, 1[ car pour tous n EN et x E [O, l[, la quantité
1 fn +1 (x) 1
=
_ n _ x
fn (x)
n+l
tend vers x quand n tend vers +oo et x < l. Pour x = 1, le critère de D'Alembert ne permet pas de conclure ; toutefois fn ( l ) = (-�)" et la série harmonique
alternée L n (-�)" est semi-convergente. Il n'y a pas donc convergence absolue
en 1 de la série d'applications L n f n ·
3. Le critère de D'Alembert permet également d'établir que la série d'applications L n fn de terme général fn : x E] - 1, l[f-+ x n converge absolument sur
) - 1 , l[.
4. La série d'applications L n f n de terme général fn : x E ]-� , � [f-+ 2�. tan ( 2 �. )
converge absolument sur ] - � , � [. En effet, pour x E] - �,O[U]O, � [ fixé on
a limn -++oo x/ 2 n
=
0 ce qui, compte tenu de la relation tan(u) ""' u, imo
l
.
(4)
p 1que que
Comme la série numérique L n �a:,I converge pour tout x E � (on peut utiliser
le critère de D'Alembert pour l'établir), la série numérique L n fn (x) converge
absolument pour tout x E] - � , O[U]O, � [. Pour x = 0, la série Ln fn (x) est la
série nulle qui converge également absolument.
La suite des sommes partielles associée à une série d'applications permet de
définir la notion de convergence uniforme pour les séries d'applications à partir
de la notion de convergence uniforme pour les suites d'applications, voir la
définition 2 . 2 p. 73.
< 4 J On sera vigilant au fait que le cas x = 0 soit être traité à part car Jp.l est alors nul, voir
le chap. 15 du Cours de première année, en particulier la définition 15.3 p. 688.