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Convergence d'une série de fonctions
Exercice 3.1 Étudier la convergence simple et déterminer la somme des
séries de fonctions L n f n dont le terme général est :
1 - fn : x 1-+ cos(x) n 2 - fn : x 1-+ exp(-nx) 3 - fn : x 1-+ x(l - x) n
On veillera à ne pas confondre la somme de la série d'applications L n fn
et la limite de la suite d'applications Un )n · La somme de la série d'applications L n fn est la limite de la suite d'applications ( Un )n est nécessairement l'application nulle.
PROPOSITION 3.3 Si la série d'applications L n fn de X dans � converge
simplement sur X alors la suite d'applications. Un )n converge simplement
sur X vers l'application nulle.
Démonstration Cette propriété résulte de la proposition 1 .2 p. 11 qu 'il suffit
d'appliquer pour tout x EX à la série numérique L n fn (x).
0
Comme pour les séries numériques, il existe pour les séries de fonctions plusieurs
notions de convergence, dont celle de convergence absolue.
DÉFINITION 3.3 (Convergence absolue)
On dit que la série d'applications L n fn de X dans � converge absolument
sur X si la série d'applications L n lfn 1 converge simplement sur X.
D'après la proposition 3.2, la série d'applications L n I f ni converge simplement
sur X si et seulement si pour tout x E X la série numérique L n lfn (x) I
converge, autrement dit si pour tout x E X la série numérique L n fn (x)
converge absolument. On a donc la proposition suivante qui permet d'établir la
convergence absolue d'une série d'applications en ayant recours aux méthodes
vues dans le chap. 1 (on pensera en particulier aux critères de Cauchy et de
D'Alembert).
PROPOSITION 3.4 La série d'applications L n fn de X dans � converge absolument sur X si et seulement si pour tout x E X la série numérique
L n fn (x) converge absolument.
Reprenons les différents exemples de la p. 115 et étudions la convergence absolue
de ces séries d'applications.