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Convergence d'une série de fonctions
Étudions la convergence uniforme de cette série sur ] - �, � [. Pour n E N et
x E] - �, O[U]O, � 1, on a d'après la relation ( 2 ) p. 117,
+oc
1
1
X
Pn (x) = L fn (x) = c/;(x) - cPn (x) = � -
2 n cotan C n ) .
k=n+ l
L'application Pn est impaire et elle est continue et dérivable sur JO, I [, avec
pour tout x E]O, �[,
f
( )
1
1
p X = - -+--�-n
x2
4 n sin2 (x/ 2 n )
(x/ 2 n ) 2 - sin2 (x/ 2 n )
x2 sin 2 (x/ 2 n )
Comme pour tout y E JR+, on a sin(y) Par ailleurs, Pn (O) = O. On déduit de ce qui précède que :
1f
2
1
( 1f )
Un = sup / Pn (x)/ = sup / Pn (x) / = Pn ( 2) = � - 2 cotan
2 +l .
x E] - � , � [
xE) O, � [
1f
n
n
Comme tan(u) '"" u, on a
2
�. cotan (n/ 2 n+1 ) '"" 2 /n ce qui implique que la
0
+oc
suite numérique (un)n converge vers O. On en conclut que la suite d'applications (Pn )n converge uniformément sur ] - �, � [ vers l'application nulle et donc
que la série L: n fn converge uniformément sur J - � ' I[ ·
Exercice 3.2 On considère la série de fonctions L: n fn de terme général
X
f n : X t--+ (
2)
•
1 + x n
1 - Déterminer l'ensemble sur lequel cette série de fonctions converge simplement.
2 - En utilisant la proposition 3.5 (ou le corollaire 3. 1), montrer que
<5>
la
série de fonctions L n f n converge uniformément sur [a, +oo[ pour tout réel
a > 0 mais ne converge pas uniformément sur [O, +oo [.
Comme on a pu le constater sur les différents exemples traités, il n'est pas
toujours aisé d'établir qu'une série d'applications converge uniformément. Nous
allons donner dans la suite de ce chapitre des critères permettant d'établir la
convergence uniforme ou la non-convergence uniforme d'une série d'applications
de manière plus pratique.
3.1.2 Propriétés
Le théorème suivant relie entre elles les différentes notions de convergence pour
une série d'applications.
( s ) On pourra consulter l'exercice 3.6 p. 135 pour une autre méthode permettant d'établir
ce résultat.