III.4. Conditions de minimalité du second ordre
En une solution x de ce problème, on écrit la condition nécessaire d’optimalité du 1 er ordre, à savoir : −∇f (x) ∈ [T (S, x)]
◦ .
Comme ∇f (x) = − (x − x), le résultat annoncé est démontré.
Remarque : Si g est la fonction
1
2 d 2
S , on peut montrer que g admet en tout x /
∈ S
une dérivée directionnelle (tangentielle) qui est
d −→ g
(x, d) = min {{x − x, d | x ∈ P S (x)} .
On en déduit que g est différentiable en x si et seulement si P S (x) est réduit
à un seul élément.
* Exercice III.15. Le lemme de H. Everett
Soit le problème d’optimisation suivant :
(P)
Minimiser f (x) sous les contraintes
h i (x) = 0 pour i = 1, . . . , m et g j (x) 0 pour j = 1, . . . , p.
On définit le lagrangien usuel
L : (x, λ, μ) ∈ R
n
× R
m
×
R
+
p −→
L (x, λ, μ) := f (x) +
m
i=1
λ i h i (x) +
p
j=1
μ j g j (x) .
Soit
λ, μ
un élément quelconque de R m × (R + )
p et soit x λ,μ un point de
R n minimisant L
·, λ, μ
sur R n .
Vérifier que x λ,μ est solution du problème d’optimisation (P ε ) suivant :
(P ε )
Minimiser f (x) sous les contraintes
h i (x) = ε i pour i ∈ I et g j (x) ε j pour j ∈ J,
où
I :=
i : λ i = 0
et ε i := h i
x λ,μ
pour i ∈ I,
J :=
j : μ j > 0
et ε j := g j
x λ,μ
pour j ∈ J.
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