Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
3 ◦ ) a) Rappelons que Df (X) : H ∈ M n (R) −→ Df (X) · H =
tr((cof X) H), où cof X désigne la matrice des cofacteurs de X. D’où ∇f (X) =
cof X.
b) Une condition nécessairement vérifiée par X maximisant f sur S
(ou sur B) est :
∇f (X), M − X 0 pour tout M ∈ B.
En X inversible, X −1 =
1
dét X
(cof X)
, d’où ∇f (X) = détX
X −1 .
La condition nécessaire de maximalité évoquée plus haut devient :
X
−1
, M − X 0 pour tout M ∈ B (car dét X > 0)
soit
X
−1
, M
X
−1
, X = tr
X
−1 X
= n pour tout M ∈ B.
Par suite, N ∗
X
−1
n.
** Exercice III.14. Soit S un fermé non vide de R n et x /
∈ S. On désigne par
P S (x) l’ensemble des x ∈ S tels que x − x = d S (x). Montrer que
x − x ∈ [T (S, x)]
◦ pour tout x ∈ P S (x) .
Solution : Les points x de P S (x) sont les solutions du problème de minimisation suivant :
Min f (x) :=
1
2 x − s 2
s ∈ S.
Figure 8.
84
3 ◦ ) a) Rappelons que Df (X) : H ∈ M n (R) −→ Df (X) · H =
tr((cof X) H), où cof X désigne la matrice des cofacteurs de X. D’où ∇f (X) =
cof X.
b) Une condition nécessairement vérifiée par X maximisant f sur S
(ou sur B) est :
∇f (X), M − X 0 pour tout M ∈ B.
En X inversible, X −1 =
1
dét X
(cof X)
, d’où ∇f (X) = détX
X −1 .
La condition nécessaire de maximalité évoquée plus haut devient :
X
−1
, M − X 0 pour tout M ∈ B (car dét X > 0)
soit
X
−1
, M
X
−1
, X = tr
X
−1 X
= n pour tout M ∈ B.
Par suite, N ∗
X
−1
n.
** Exercice III.14. Soit S un fermé non vide de R n et x /
∈ S. On désigne par
P S (x) l’ensemble des x ∈ S tels que x − x = d S (x). Montrer que
x − x ∈ [T (S, x)]
◦ pour tout x ∈ P S (x) .
Solution : Les points x de P S (x) sont les solutions du problème de minimisation suivant :
Min f (x) :=
1
2 x − s 2
s ∈ S.
Figure 8.
84