III.4. Conditions de minimalité du second ordre
Solution : L’application M −→→ A, M est une forme linéaire sur M n (R),
donc continue (pourquoi ?). La sphère-unité S étant compacte, il existe bien
M ∈ S telle que
N ∗ (A) = A, M = sup {{ A, M : M ∈ S} .
Si M ∈ S, il en est de même de −M , d’où N ∗ (A) ∈ R + .
Les propriétés suivantes sont immédiates :
N ∗ (0) = 0 ;
∀A ∈ M n (R) , ∀λ ∈ R, N ∗ (λA) = |λ| N ∗ (A) ;
∀A 1 ∈ M n (R) , ∀A 2 ∈ M n (R) , N ∗ (A 1 + A 2 ) N ∗ (A 1 ) + N ∗ (A 2 ) .
Comme A, M N ∗ (A) N (M ) pour tout (A, M ) ∈ M n (R) ×
M n (R) ,
(N ∗ (A) = 0) ⇒ ( A, M 0 pour tout M ∈ M n (R)) , soit A = 0.
N ∗ est bien une norme sur M n (R) .
Il est clair que N ∗ (A) est également le maximum de A, · · sur B. En
fait N ∗ est ce qu’on appelle la fonction d’appui de B (ou de S) ; c’est la norme
duale de N . Mais attention, N n’est pas ( ·, · · )
1/2 !
1 ◦ ) Si 0 = M ∈ M n (R) , M/N (M ) ∈ S de sorte que
f
M
N (M )
=
1
[N (M )]
n f (M ) max
S∈S
f (S).
Ainsi, dans tous les cas, f (M ) [N (M )]
n max S∈S f (S).
En particulier, f (M ) max S∈S f (S) pour tout M ∈ B, d’où
max M ∈B f (M ) est égal à max S∈S f (S).
2 ◦ ) f est continue, S est compact, donc f atteint bien son maximum en un
point X de S.
Il est clair que f
X
0. Pour s’assurer du caractère inversible de X, il
suffit de montrer que détX = f (X) > 0.
La matrice
In
N (In) ∈ S et f
In
N (In)
=
1
[N (In)]
n > 0, donc f (X) > 0.
On a
N ∗
X
−1
X
−1
, M = tr
X
−1 M
pour tout M ∈ S.
En particulier, puisque X ∈ S, N ∗
X
−1
trI n = n.
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