Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
En résumé :
– Si f n’est pas différentiable en le point x considéré, on peut espérer avoir
une condition suffisante de minimalité du 1 er ordre pour f (basée sur f
(x, ·)).
– En minimisation sans contraintes, une condition nécessaire de minimalité
du 1 er ordre comme ∇f (x) = 0 ne donne une information (du type d’être un
minimum local) que sur la fonction perturbée f + ε · − x .
** Exercice III.13. Soit M n (R) structuré en espace euclidien à l’aide du produit
scalaire
(A, B) −→→ A, B = tr
A
B
;
soit N une norme sur M n (R) pour laquelle on pose :
S := {M ∈ M n (R) : N (M ) = 1} (sphère-unité),
B := {M ∈ M n (R) : N (M ) 1} (boule-unité fermée).
On définit
N ∗ : A ∈ M n (R) −→ N ∗ (A) := max {{ A, M : M ∈ S} .
N ∗ est une norme sur M n (R) (ce que l’on ne demande pas de démontrer).
On considère la fonction f : M n (R) → R qui à X associe
f (X) := dét X.
1 ◦ ) Montrer que le maximum de f sur S est également le maximum de f
sur B.
2 ◦ ) Soit X un point de S où f atteint son maximum. Montrer que X est
inversible et que
N ∗
X
−1
n.
3 ◦ ) a) Quelle est la différentielle de f en X ∈ M n (R) (forme linéaire sur
M n (R)) ? le gradient de f en X (élément de M n (R)) ? On demande simplement
de rappeler les résultats.
b) En écrivant la condition nécessaire de maximalité en X, montrer :
X
−1
, M − X 0 pour tout M ∈ B.
En déduire que N ∗
X
−1
= n.
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