III.4. Conditions de minimalité du second ordre
Réciproquement, soit p ∈ [T (S, x)]
◦ et supposons que (3.3) n’ait pas lieu.
Il existe donc ε > 0, une suite {x k } ⊂ S convergeant vers x, tels que
p, x k − x > ε x k − x pour tout k.
(3.5)
Nécessairement x k = x pour tout k. Posons d k :=
x k −x
x k −x . La suite {d k } est
dans la sphère-unité de R n ; prenons-en une sous-suite convergente : d k l → d
quand l → +∞. Par construction, d ∈ T (S, x) . Il vient de (3.5) :
p, d ε > 0
ce qui entre en contradiction avec le fait que p ∈ [T (S, x)]
◦ .
2 ◦ ) Supposons qu’il existe {x k } ⊂ S, x k = x, x k → x telle que f (x k )
f (x) pour tout k. Posons d k :=
x k −x
x k −x , de sorte que x k = x + x k − x d k .
Quitte à prendre une sous-suite, on peut supposer que d k → d quand k → +∞.
Évidemment d = 1 et d ∈ T (S, x) . Posant t k := x k − x
0
f (x k ) − f (x)
t k
=
f (x + t k d k ) − f (x)
t k
−→
k → +∞
f
(x, d) > 0.
D’où contradiction.
Si f était différentiable en x, f
(x, d) = ∇f (x), d pour tout d ∈ R n , et
la condition (3.4) deviendrait alors :
∇f (x), d > 0 pour tout d ∈ R
n
\ {0}
ce qui est impossible à réaliser !
3 ◦ ) (i) dit : ∇f (x) , d 0 pour tout d ∈ T (S, x) .
(ii) dit : ∀ε > 0, ∇f (x) , d > −ε d pour tout 0 = d ∈ T (S, x) .
Il est clair que (i) ⇔ (ii) .
Soit g : x −→ g(x) := f (x) + ε x − x . Il est facile de vérifier que
g
(x, d) = ∇f (x) , d + ε d .
D’après le résultat de la 2 e question, appliqué à g, on obtient que x est un
minimum local strict de g sur S.
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