Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
Remarque : La première formule n’offre pas un grand intérêt puisque, de manière
générale, T (A ∪ B, x) = T (A, x) ∪ T (B, x) ; la deuxième est plus inattendue
puisque seule l’inclusion T (A ∩ B, x) ⊂ T (A, x) ∩ T (B, x) est valide en général.
** Exercice III.12. Soit S un fermé non vide de R n et x ∈ S. On désigne par
T (S, x) le cône tangent à S en x.
1 ◦ ) Montrer que p ∈ [T (S, x)]
◦ si et seulement si :
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tel que
(x ∈ S et x − x δ) ⇒ (p, x − x ε x − x ) .
(3.3)
2 ◦ ) Soit f une fonction numérique telle que, pour tout d ∈ R n , le quotient
différentiel suivant
f
x + td
− f (x)
t
admette une limite (finie) quant t → 0 + et d
→ d. Cette limite est notée f
(x, d)
(et appelée dérivée directionnelle tangentielle de f en x dans la direction d).
Montrer que la condition
f
(x, d) > 0 pour tout 0 = d ∈ T (S, x)
( 3 .4)
entraîne que x est un minimum local strict de f sur S.
Que deviendrait (3.4) si S = R n et f était différentiable en x ?
3 ◦ ) Soit f une fonction numérique différentiable en x. Vérifier l’équivalence
des énoncés suivants :
(i) −∇f (x) ∈ [T (S, x)]
◦ ;
(ii) ∀ε > 0, ∇f (x) , d > −ε d pour tout 0 = d ∈ T (S, x) .
On suppose que x vérifie l’une des conditions équivalentes ci-dessus. Montrer
que pour tout ε > 0, x est un minimum local strict de f + ε · − x sur S.
Solution : 1 ◦ ) Soit p vérifiant la propriété (3.3), et soit d ∈ T (S, x) ; montrons
que p, d 0.
Puisque d ∈ T (S, x), il existe {t k } ⊂ R +
∗ tendant vers 0, {d k } tendant vers
d, tels que x k := x + t k d k ∈ S pour tout k. Donc x k − x δ pour tout k
assez grand (disons k k 0 ). Par suite :
∀ε > 0, ∃ k 0 tel que p, d k ε d k pour tout k k 0 .
Donc, à la limite, p, d 0.
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