III.4. Conditions de minimalité du second ordre
3 ◦ ) Une condition nécessaire et suffisante pour que x ∈ Λ n minimise la
fonction (convexe et différentiable) f sur Λ n est
−∇f (x) = (−∂ 1 f (x) , . . . , −∂ n f (x)) ∈ N Λn (x) .
Le résultat escompté découle de l’expression de N Λn (x) trouvée à la question précédente.
** Exercice III.11. Soit S un ensemble non vide de R n ; on désigne par S c le
complémentaire de S, et par frS la frontière de S. Montrer que si x ∈ frS,
T (S, x) ∪ T (S
c , x) = R
n , T (f rS, x) = T (S, x) ∩ T (S
c , x) .
Solution : – Soit d quelconque dans R n et posons x k := x +
1
k d, k ∈ N ∗ . Si
{x k } possède une sous-suite contenue dans S, il est alors clair que d ∈ T (S, x) .
Dans le cas contraire, il existe k 0 tel que x k ∈ S c pour tout k k 0 ; il s’ensuit
que d ∈ T (S c , x).
En résumé, d ∈ T (S, x) ∪ T (S c , x) .
– Puisque frS = S ∩ S c , l’inclusion T (frS, x) ⊂ T (S, x) ∩ T (S c , x) est
acquise.
Réciproquement, considérons d ∈ T (S, x) ∩ T (S c , x) :
∃ {d k } → d, ∃ {t k } ⊂ R +
∗ convergeant vers 0, telles que
x + t k d k ∈ S pour tout k ;
∃
d
k
→ d
, ∃
t
k
⊂ R +
∗ convergeant vers 0, telles que
x + t
k d
k ∈ S
c pour tout k.
Puisque x + t k d k ∈ S et x + t
k d
k ∈ S c , il existe α k ∈ ]0, 1[ tel que
α k (x + t k d k ) + (1 − α k ) (x + t
k d
k ) ∈ frS. Posons
τ k := α k t k + (1 − α k ) t
k , δ k :=
t k α k
τ k
d k +
(1 − α k ) t
k
τ k
d
k .
Alors : {τ k } ⊂ R +
∗ converge vers 0 ;
{δ k } converge vers d (car chaque δ k est une combinaison convexe de d k et
d
k , d’où δ k − d max( d k − d , d
k − d )) ; x + τ k δ k ∈ frS pour tout k.
Donc, d ∈ T (frS, x).
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