Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
2 ◦ ) Il y a différentes manières d’arriver aux expressions annoncées de
T Λn (x) et N Λn (x) :
– à partir des définitions : le caractère polyédral du convexe (fermé) Λ n
facilite grandement les choses
T Λn (x) = {α (x − x) | α 0 et x ∈ Λ n }
N Λn (x) = [T Λn (x)]
◦ ;
– à partir de la représentation de Λ n comme conjonction d’un nombre fini
d’inégalités affines a j , x b j ; auquel cas :
T Λn (x) = {d ∈ R
n
| |a j , d 0 pour tout j ∈ J (x)} ,
N Λn (x) =
⎧
⎨
⎩
j∈J(x)
α j a j | α j 0 pour tout j ∈ J (x)
⎫
⎬
⎭
,
où J (x) désigne {j | |a j , x = b j } .
Dans le cas présent, si l’on pose a 0 = (1, . . . , 1) , a 1 = − (1, 0, . . . , 0) , . . . ,
a n = − (0, . . . , 0, 1) , Λ n est représenté comme conjonction de n + 2 inégalités
affines
a 0 , x 1, −a 0 , x −1, a 1 , x 0, . . . , a n , x 0.
Les deux premières contraintes-inégalités sont toujours actives en x ∈ Λ n ,
et certaines parmi les n autres peuvent l’être (de aucune à presque toutes
(n − 1)). En conséquence :
T Λn (x) =
d = (d 1 , . . . , d n ) ∈ R
n
|
n
i=1
d i 0, −
n
i=1
d i 0,
− d i 0 pour tout i ∈ I (x)
;
N Λn (x) = Ra 0 −
n
i=1
α
i (0, . . . , 1, 0, . . . , 0) | α
i 0 si x i = 0
et α
i = 0 si x i > 0
.
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