III.4. Conditions de minimalité du second ordre
Pour x ∈ Λ n on note I (x) l’ensemble (éventuellement vide) des i tels que
x i = 0.
Montrer que
– le cône tangent à Λ n en x est
T Λn (x) = {d = (d 1 , . . . , d n ) ∈ R n | d i 0 pour tout i ∈ I (x) ,
et
n
i=1
d i = 0} ;
– le cône normal à Λ n en x est
N Λn (x) = {(α 0 , . . . , α 0 ) | α 0 ∈ R}
+ { (α 1 , . . . , α n ) ∈ R n | α i = 0 pour tout i /
∈ I (x) ,
α i 0 pour tout i ∈ I (x)}.
3 ◦ ) Soit f : R n → R convexe et différentiable. Montrer qu’une condition
nécessaire et suffisante pour que x ∈ Λ n minimise f sur Λ n est :
∂ i f (x) = constante c pour tout i /
∈ I (x)
∂ i f (x) c pour tout i ∈ I (x) .
Solution :
Figure 7.
1 ◦ ) T Λ 3 (1/3, 1/3, 1/3) est le plan d’équation
d 1 + d 2 + d 3 = 0 ;
T Λ 3 (0, 1/2, 1/2) est le demi-plan d’équation :
d 1 + d 2 + d 3 = 0 et d 1 0 ;
T Λ 3 (0, 0, 1) est le cône d’équation :
d 1 + d 2 + d 3 = 0 d 1 0 et d 2 0.
T Λ 3 (x) est dans chaque cas R + (Λ 3 − x) .
N Λ 3 (1/3, 1/3, 1/3) est la droite dirigée par le vecteur (1, 1, 1) ;
N Λ 3 (0, 1/2, 1/2) est le demi-plan constitué des vecteurs de la forme
(α 0 + α 1 , α 0 , α 0 ), où α 0 ∈ R et α 1 0.
N Λ 3 (0, 0, 1) est le cône constitué des vecteurs de la forme (α 0 + α 1 ,
α 0 + α 2 , α 0 ), où α 0 ∈ R, α 1 0 et α 2 0.
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