Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
Solution : Par définition de x λ,μ , on a :
f
x λ,μ
+
i∈I
λ i h i
x λ,μ
+
j∈J
μ j g j
x λ,μ
f (x) +
i∈I
λ i h i (x) +
j∈J
μ j g j (x) pour tout x ∈ R
n .
(3.6)
Soit x vérifiant : h i (x) = h i (x λ,μ ) pour i ∈ I, g j (x) g j (x λ,μ ) pour j ∈ J.
Il est trivial que x λ,μ , entre autres, vérifie ces inégalités.
Au vu de l’inégalité (3.6), et sachant que μ j 0, on a bien f (x λ,μ ) f (x).
Donc, x λ,μ vérifie les contraintes de (P ε ) et est une solution de (P ε ).
** Exercice III.16. Étant donné Q ∈ S n (R) définie positive, c ∈ R n , A ∈
M m,n (R) de rang m (m n) et b ∈ R m , on considère le problème de minimisation suivant :
(P b )
Min f (x) :=
1
2 Qx, x + c, x
Ax = b.
1 ◦ ) Indiquer rapidement pourquoi (P b ) a toujours une et une seule solution.
2 ◦ ) Déterminer explicitement la solution x de (P b ) ainsi que le vecteurmultiplicateur λ ∈ R m associé.
3 ◦ ) Pour u ∈ R m , on pose
ϕ (u) := inf {f (x) | Ax = b + u} .
Quelles sont les propriétés essentielles de la fonction ϕ (convexité, différentiabilité, etc.) ?
Solution : 1 ◦ ) L’application linéaire A : R n → R m étant surjective, l’ensemblecontrainte de (P b ) est un convexe fermé non vide de R n , et ce quel que soit
b ∈ R m (c’est en fait un sous-espace affine de R n dont la direction est le
sous-espace vectoriel KerA).
La fonction f est convexe (fortement convexe même) sur R n et
lim
x→+∞
f (x) = +∞.
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