Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
concavité de la fonction objectif f p n’implique nullement qu’il n’y a qu’une seule
solution (contrairement à la maximisation de f p sur le même ensemble-contrainte).
** Exercice III.7. Soit λ n : S n (R) → R
A −→ λ n (A) := plus petite valeur propre de A.
1 ◦ ) Vérifier que λ n est une fonction concave.
2 ◦ ) Représenter P n (R) , ensemble des matrices semi-définies positives de
taille n, sous la forme {A ∈ S n (R) | g(A) 0}, où g est une fonction convexe
que l’on proposera.
Solution : 1 ◦ ) On a (cf. Exercice III.4 par exemple) :
∀A ∈ S n (R) , λ n (A) = inf x=1 Ax, x .
Si ·, · · symbolise le produit scalaire usuel dans S n (R) (i.e.
A, B = tr(AB)), Ax, x n’est autre que A, xx T . Ainsi
λ n (A) = inf
x=1
A, xx
T
.
D’où la fonction λ n est l’infimum de la famille de formes linéaires A −→
A, xx T , indexée par x vérifiant x = 1. Il s’ensuit que λ n est une
fonction concave positivement homogène (i.e., λ n (αA) = αλ n (A) pour tout
α 0 et A ∈ S n (R)).
2 ◦ ) On a : (A ∈ P n (R)) ⇔ (λ n (A) 0) .
Par suite : P n (R) = {A ∈ S n (R) | g(A) 0} , où g := −λ n .
Il s’agit d’une « bonne » représentation de P n (R) sous forme de contrainte
de type inégalité, car il existe A 0 ∈ S n (R) tel que g(A 0 ) < 0 (par exemple
A 0 = I n ) : l’hypothèse de qualification des contraintes de Slater est satisfaite.
On retrouve alors que
int P n (R) = {A ∈ S n (R) | g(A) < 0}
(ensemble des matrices définies positives de taille n).
Notons toutefois que g n’est pas nécessairement différentiable.
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