III.4. Conditions de minimalité du second ordre
** Exercice III.8. Étant donné a 1 , . . . , a n des réels différents de zéro, on considère l’ellipsoïde plein (ou convexe compact elliptique) de R n défini comme suit :
E :=
u = (u 1 , . . . , u n ) ∈ R
n
|
n
i=1
u i
a i
2
1
.
Soient x /
∈ E fixé et x sa projection sur E. Montrer que
x i =
a 2
i x i
a 2
i + μ
pour tout i = 1, . . . , n,
où μ > 0 est la seule solution de l’équation (en μ)
n
i=1
a 2
i x 2
i
(a 2
i + μ) 2 = 1.
Solution : x = (x 1 , . . . , x n ) est solution du problème de minimisation suivant :
(P)
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
Minimiser f (u) := x − u 2
sous la contrainte
n
i=1
u i
a i
2
1.
Il est clair ici que la (seule) contrainte inégalité est active en x :
n
i=1
x i
a i
2
=
1 (d’accord ?). La condition de minimalité caractérisant x est : il existe un multiplicateur μ 0 tel que
x i − x i + μ
x i
a 2
i
= 0 pour tout i = 1, . . . , n.
Il s’ensuit que μ > 0 (car x = x) et x i =
a 2
i x i
a 2
i +μ
pour tout i = 1, . . . , n.
Comment trouver ce μ ? On écrit tout simplement la condition
n
i=1
x i
a i
2
= 1.
La fonction μ −→ d (μ) :=
n
i=1
a 2
i x 2
i
(a 2
i +μ) 2 est continue et strictement décroissante sur R + ; elle décroît de d(0) =
n
i=1
x 2
i
a 2
i
> 1 (car x /
∈ E) à
0
= lim
μ→+∞
d (μ)
.
L’unique μ > 0 vérifiant d (μ) = 1 est le multiplicateur recherché.
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** Exercice III.8. Étant donné a 1 , . . . , a n des réels différents de zéro, on considère l’ellipsoïde plein (ou convexe compact elliptique) de R n défini comme suit :
E :=
u = (u 1 , . . . , u n ) ∈ R
n
|
n
i=1
u i
a i
2
1
.
Soient x /
∈ E fixé et x sa projection sur E. Montrer que
x i =
a 2
i x i
a 2
i + μ
pour tout i = 1, . . . , n,
où μ > 0 est la seule solution de l’équation (en μ)
n
i=1
a 2
i x 2
i
(a 2
i + μ) 2 = 1.
Solution : x = (x 1 , . . . , x n ) est solution du problème de minimisation suivant :
(P)
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
Minimiser f (u) := x − u 2
sous la contrainte
n
i=1
u i
a i
2
1.
Il est clair ici que la (seule) contrainte inégalité est active en x :
n
i=1
x i
a i
2
=
1 (d’accord ?). La condition de minimalité caractérisant x est : il existe un multiplicateur μ 0 tel que
x i − x i + μ
x i
a 2
i
= 0 pour tout i = 1, . . . , n.
Il s’ensuit que μ > 0 (car x = x) et x i =
a 2
i x i
a 2
i +μ
pour tout i = 1, . . . , n.
Comment trouver ce μ ? On écrit tout simplement la condition
n
i=1
x i
a i
2
= 1.
La fonction μ −→ d (μ) :=
n
i=1
a 2
i x 2
i
(a 2
i +μ) 2 est continue et strictement décroissante sur R + ; elle décroît de d(0) =
n
i=1
x 2
i
a 2
i
> 1 (car x /
∈ E) à
0
= lim
μ→+∞
d (μ)
.
L’unique μ > 0 vérifiant d (μ) = 1 est le multiplicateur recherché.
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