III.4. Conditions de minimalité du second ordre
Solution : 1 ◦ ) f =
1
2 λ n , où λ n désigne la plus petite valeur propre de A.
De plus
x = 1, f (x) = f
⇔ ( x = 1 et Ax = λ n x) .
Les solutions de (P) sont, dans ce cas, les vecteurs propres unitaires associés
à λ n .
2 ◦ ) (a) On a ∇ 2 f p (x) = A p pour tout x ∈ R n , et par choix de p
A p x, x = Ax, x + p x
2
(λ 1 + p) x
2
< 0 si x = 0.
Donc f p est une fonction strictement concave (et même fortement concave
sur R n ).
(b) Notons que inf {f p (x) : x 1} est nécessairement atteint en
des points x tels que x = 1. En effet, si cette borne inférieure était atteinte
en un point x intérieur à l’ensemble-contrainte de
˜
P p
on aurait : ∇f p (x) = 0
et ∇ 2 f p (x) semi-définie positive, ce qui est exclu.
Il s’ensuit
inf {f p (x) : x 1} = inf {f p (x) : x = 1}
= inf {f (x) : x = 1} +
p
2
(puisque f p (x) = f (x) +
p
2
lorsque x = 1).
D’une manière claire :
x est solution de
˜
P p
⇔ f p (x) = inf {f p (x) : x 1} et x = 1 ;
⇔ f p (x) = inf {f p (x) : x = 1} et x = 1 ;
⇔ f (x) +
p
2
= inf {f (x) : x = 1} +
p
2
et x = 1 ;
⇔ x est solution de (P) .
Les solutions de (P) et
˜
P p
sont bien les mêmes.
Remarque : L’ensemble-contrainte dans
˜
P p
est un convexe compact simple
(la boule unité fermée pour la norme euclidienne) et la fonction à minimiser est
strictement concave. Ce n’est pas pour autant un problème simple, et la stricte
73