Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
Solution : Les valeurs optimales dans (P) et ( ˆ
P) sont les mêmes si, et seulement si, la plus petite valeur propre λ n de A est 0 (voir exercice précédent).
Mais on demande plus ici : on veut que les solutions soient les mêmes dans (P)
et ( ˆ
P) ou, ce qui revient au même, on veut qu’aucune solution x de ( ˆ
P) ne soit
intérieure à la boule unité (euclidienne) de R n ( x < 1). Or une solution x
de ( ˆ
P) est intérieure à la boule unité (euclidienne) de R n si, et seulement si,
A est semi-définie positive (d’accord ?).
Donc, (P) et ( ˆ
P) sont équivalents si, et seulement si, λ n < 0.
** Exercice III.6. Étant donnés A ∈ S n (R) et b ∈ R n , on considère le problème
d’optimisation suivant :
(P)
Min f (x) :=
1
2 Ax, x + b, x
x = 1.
1 ◦ ) On suppose b = 0. Rappeler alors ce que vaut f := inf {f (x) : x = 1}
et quels sont les x de norme 1 pour lesquels f (x) = f .
2 ◦ ) Soient λ 1 la plus grande valeur propre de A et p un réel strictement
inférieur à −λ 1 . On pose
A p := A + pI n et f p : x ∈ R
n
−→ f p (x) :=
1
2
A p x, x + b, x .
(a) Indiquer pourquoi f p est strictement concave.
(b) On considère le problème d’optimisation suivant :
˜
P p
Min f p (x)
x 1.
Montrer que
inf {f p (x) : x 1} = inf {f (x) : x = 1} +
1
2
p
et que les solutions de (P) et
˜
P p
sont les mêmes.
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