III.4. Conditions de minimalité du second ordre
Ax = λx. Donc x est un vecteur propre (unitaire) de A associé à la valeur
propre (exhibée) λ ; la valeur correspondante f (x) est Ax, x = λ. Reste à
montrer que λ est la plus grande des valeurs propres de A. Soit μ une valeur
propre de A et x un vecteur propre unitaire associé : Ax = μx, x = 1. Il
s’ensuit :
Ax, x = μ max
x=1
Ax, x = λ.
– Posons α := max x1 Ax, x . Il va de soi que λ 1 α et α 0.
Si α = λ 1 , on a λ 1 0 évidemment. Montrons la réciproque, à savoir :
(λ 1 0) ⇒ (Ax, x λ 1 pour tout x tel que x 1).
Si x = 0, l’inégalité voulue est bien vérifiée ; si x = 0, x 1, on note
que
Ax, x = x
2
A
x
x
,
x
x
λ 1.
Donc λ 1 est le maximum de la forme quadratique Ax, x sur la boule unité
fermée (euclidienne) de R n si, et seulement si, la plus grande valeur propre de
A est 0.
Par un raisonnement similaire à celui fait pour λ 1 , nous avons λ n =
min
x=1
Ax, x .
Posons β := min
x1
Ax, x . Il est clair que β λ n et β 0.
Si β = λ n , on a λ n 0 bien sûr. Réciproquement, si λ n 0,
Ax, x λ n x
2
λ n pour tout x tel que x 1.
Donc : λ n = min
x1
Ax, x si, et seulement si, l’une des valeurs propres de
A est 0 (ce qui équivaut à λ n 0).
* Exercice III.5. Soit A ∈ S n (R) . À quelle condition les deux problèmes suivants sont-il équivalents
(P)
Min Ax, x
x = 1
ˆ
P
Min Ax, x
x 1
(au sens où les valeurs optimales et les solutions sont les mêmes dans (P)
et ( ˆ
P)) ?
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