Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
unique tel que ∇g (p) = λ∇h (p), soit :
n i
p i
= λ pour tout i = 1, . . . , k.
Comme
k
i=1
p i = 1, on en déduit λ = N et, par suite,
p i =
n i
N
pour tout i = 1, . . . , k.
(3.2)
Sachant que le problème de maximisation de départ a une solution et qu’on
n’a détecté qu’un seul point vérifiant les conditions nécessaires d’optimalité, le
point en question est la solution du problème.
Remarque : On aurait pu faire la même démarche avec f sans recourir à g ; mais
« casser » un produit en une somme en prenant le logarithme peut simplifier les
calculs.
Commentaire : Dans les problèmes d’estimation en Statistique, on est amené à
maximiser des fonctions appelées fonctions de vraisemblance, et cela est source de
bien des problèmes d’optimisation. L’exemple traité dans cet exercice en est une
illustration.
** Exercice III.4. Soit A ∈ S n (R), λ 1 (resp. λ n ) la plus grande valeur propre
(resp. la plus petite valeur propre) de A. Montrer que :
λ 1 = max
x=1
Ax, x (resp. λ n = min
x=1
Ax, x ).
À quelle condition a-t-on λ 1 = max
x1
Ax, x (resp. λ n = min
x1
Ax, x) ?
On demande des démonstrations basées sur des techniques et résultats d’Optimisation, sans recourir à des résultats d’Algèbre bilinéaire (comme une décomposition spectrale de A).
Solution : – Soient f : x ∈ R n −→ f (x) := Ax, x et S := {x ∈ R n |
x = 1}. Il est clair que S peut être représenté comme une contrainte du
type égalité, h(x) = 0, avec h(x) := x 2 −1.
La fonction-objectif f étant continue et S compact, il existe bien x ∈ S
tel que f (x) = max x∈S f (x). Comme h est continûment différentiable et
∇h (x) = 2x = 0, il existe λ ∈ R (unique) tel que ∇f (x) = λ∇h (x), soit
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unique tel que ∇g (p) = λ∇h (p), soit :
n i
p i
= λ pour tout i = 1, . . . , k.
Comme
k
i=1
p i = 1, on en déduit λ = N et, par suite,
p i =
n i
N
pour tout i = 1, . . . , k.
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Sachant que le problème de maximisation de départ a une solution et qu’on
n’a détecté qu’un seul point vérifiant les conditions nécessaires d’optimalité, le
point en question est la solution du problème.
Remarque : On aurait pu faire la même démarche avec f sans recourir à g ; mais
« casser » un produit en une somme en prenant le logarithme peut simplifier les
calculs.
Commentaire : Dans les problèmes d’estimation en Statistique, on est amené à
maximiser des fonctions appelées fonctions de vraisemblance, et cela est source de
bien des problèmes d’optimisation. L’exemple traité dans cet exercice en est une
illustration.
** Exercice III.4. Soit A ∈ S n (R), λ 1 (resp. λ n ) la plus grande valeur propre
(resp. la plus petite valeur propre) de A. Montrer que :
λ 1 = max
x=1
Ax, x (resp. λ n = min
x=1
Ax, x ).
À quelle condition a-t-on λ 1 = max
x1
Ax, x (resp. λ n = min
x1
Ax, x) ?
On demande des démonstrations basées sur des techniques et résultats d’Optimisation, sans recourir à des résultats d’Algèbre bilinéaire (comme une décomposition spectrale de A).
Solution : – Soient f : x ∈ R n −→ f (x) := Ax, x et S := {x ∈ R n |
x = 1}. Il est clair que S peut être représenté comme une contrainte du
type égalité, h(x) = 0, avec h(x) := x 2 −1.
La fonction-objectif f étant continue et S compact, il existe bien x ∈ S
tel que f (x) = max x∈S f (x). Comme h est continûment différentiable et
∇h (x) = 2x = 0, il existe λ ∈ R (unique) tel que ∇f (x) = λ∇h (x), soit
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