III.4. Conditions de minimalité du second ordre
** Exercice III.3. Soient n 1 , . . . , n k k entiers naturels de somme N > 0 et
f : R k → R définie par :
f (p 1 , . . . , p k ) :=
k
i=1
p
n i
i .
Maximiser f sur le simplexe-unité Λ k de R k
Λ k :=
p = (p 1 , . . . , p k ) ∈ R
k
| p i 0 pour tout i, et
k
i=1
p i = 1
.
Solution : f est continue, Λ k est compact (d’accord ?) ; il existe donc au moins
un p ∈ Λ k maximisant f sur Λ k .
Figure 6.
Comme f est nulle sur la frontière relative de Λ k , les p se trouvent nécessairement dans l’intérieur relatif de Λ k , i.e. p i > 0 pour tout i = 1, . . . , k
(« relatif » signifie dans le sous-espace affine engendré par Λ k , à savoir l’hyperplan affine d’équation
k
i=1
p i = 1).
Donc, si on définit g : (R +
∗ )
k → R par g (p 1 , . . . , p k ) := ln f (p 1 , . . . , p k ) et
h : R k → R par h (p 1 , . . . , p k ) :=
k
i=1
p i − 1, il est clair que p maximise g(p) sous
la contrainte h(p) = 0. Puisque ∇h (p) = 0 nécessairement, il existe λ ∈ R
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** Exercice III.3. Soient n 1 , . . . , n k k entiers naturels de somme N > 0 et
f : R k → R définie par :
f (p 1 , . . . , p k ) :=
k
i=1
p
n i
i .
Maximiser f sur le simplexe-unité Λ k de R k
Λ k :=
p = (p 1 , . . . , p k ) ∈ R
k
| p i 0 pour tout i, et
k
i=1
p i = 1
.
Solution : f est continue, Λ k est compact (d’accord ?) ; il existe donc au moins
un p ∈ Λ k maximisant f sur Λ k .
Figure 6.
Comme f est nulle sur la frontière relative de Λ k , les p se trouvent nécessairement dans l’intérieur relatif de Λ k , i.e. p i > 0 pour tout i = 1, . . . , k
(« relatif » signifie dans le sous-espace affine engendré par Λ k , à savoir l’hyperplan affine d’équation
k
i=1
p i = 1).
Donc, si on définit g : (R +
∗ )
k → R par g (p 1 , . . . , p k ) := ln f (p 1 , . . . , p k ) et
h : R k → R par h (p 1 , . . . , p k ) :=
k
i=1
p i − 1, il est clair que p maximise g(p) sous
la contrainte h(p) = 0. Puisque ∇h (p) = 0 nécessairement, il existe λ ∈ R
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