Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
* Exercice III.2. Soit s = 0 fixé dans R n , r ∈ R, et H r l’hyperplan de R n
d’équation s, x = r.
Étant donné v ∈ R n on se propose de déterminer la projection orthogonale
v r de v sur H r .
1 ◦ ) Déterminer v r à partir de l’observation suivante : v r est la solution du
problème de minimisation convexe suivant :
(P r )
Minimiser
1
2 x − v 2
x ∈ H r .
2 ◦ ) Posons d(r) :=
1
2 v r − v 2 . Vérifier que d est une fonction dérivable de
r et que sa dérivée d (r) est, au signe près, le multiplicateur de Lagrange dans
le problème (P r ).
Solution : 1 ◦ ) v r est la solution de (P r ) si et seulement si :
s, v r = r
∃ λ r ∈ R tel que v r − v + λ r s = 0.
(d’accord ?)
(3.1)
λ r est le multiplicateur de Lagrange associé à la seule contrainte de (P r ),
à savoir la contrainte-égalité s, x − r = 0.
Il vient de la 2 e relation de (3.1)
v r − v, s + λ r s
2 = 0
d’où, avec la 1 re relation de (3.1) , λ r =
s,v−r
s 2 .
Par suite
v r = v −
s, v − r
s 2 s.
v − v r est dirigé par s, ce qui est... normal.
La distance de v à H r vaut donc
||s,v−r|
s .
2 ◦ ) La fonction r ∈ R −→ d(r) :=
1
2 v r − v 2 =
1
2
(s,v−r)
2
s 2
est dérivable
sur R et
d
(r) = −
s, v − r
s 2 = −λ r .
Ainsi, la « sensibilité au 1 er ordre » de la valeur minimale d(r) aux variations de r (second membre dans l’équation de H r ) est donnée, au signe près,
par le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte dans (P r ).
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