III.4. Conditions de minimalité du second ordre
Th´ eor` eme. Si x ∈ O ∩ S est un minimum local de f sur S et si les vecteurs ∇h 1 (x) , . . . , ∇h m (x) sont linéairement indépendants, il existe alors λ =
λ 1 , . . . , λ m
∈ R m (unique) tel que :
(i) ∇ x L
x, λ
= 0
et
(ii)
∇ 2
xx L
x, λ
d, d
0 pour toute direction d dans le sous-espace tangent
T (S, x) = {d ∈ R n | |∇h i (x) , d = 0 pour tout i = 1, . . . , m}.
Th´ eor` eme. Soit x ∈ O ∩ S. Supposons les ∇h 1 (x), . . . , ∇h m (x) linéairement indépendants, et supposons qu’il existe λ ∈ R m tel que :
(i) ∇ x L
x, λ
= 0
et
(ii)
∇ 2
xx L
x, λ
d, d
> 0 pour toute direction non nulle d dans le sous-espace
tangent T (S, x) = {d ∈ R n | |∇h i (x) , d = 0 pour tout i = 1, . . . , m} .
Alors x est un minimum local strict de f sur S.
Références. Chapitre III de [11].
* Exercice III.1. On considère le problème de la minimisation d’une fonction
différentiable f : R 2 → R sous la contrainte h (ξ 1 , ξ 2 ) := ξ 3
1 − ξ 2
2 = 0.
Quels sont les points vérifiant les conditions de minimalité du 1 er ordre ?
Résoudre le problème avec f : (ξ 1 , ξ 2 ) −→ f (ξ 1 , ξ 2 ) := ξ 1 + ξ 2
2 .
Solution : La fonction h définissant la contrainte (du type égalité) est continûment différentiable, mais ∇h (x) = 0 en x = (0, 0) . Par conséquent, les
points x =
ξ 1 , ξ 2
vérifiant les conditions de minimalité du 1 er ordre sont
ceux vérifiant :
h (x) = 0,
∃
λ 0 , λ 1
= (0, 0) tel que λ 0 ∇f (x) + λ 1 ∇h (x) = 0
(conditions de
F. John).
Cela conduit aux candidats suivants :
– x = (0, 0) vérifiant h (x) = 0 et ∇f (x) = λ∇h (x) pour un certain λ ∈ R
(conditions usuelles de Lagrange) ;
– x = (0, 0) (à considérer dans tous les cas de figure).
Dans l’exemple considéré, avec f (ξ 1 , ξ 2 ) := ξ 1 + ξ 2
2 , il n’y a pas de point
vérifiant des conditions de minimalité de type Lagrange ; seul x = (0, 0) est
à retenir. En effet, x = (0, 0) est le minimum de f (ξ 1 , ξ 2 ) sous la contrainte
h (ξ 1 , ξ 2 ) = 0.
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Th´ eor` eme. Si x ∈ O ∩ S est un minimum local de f sur S et si les vecteurs ∇h 1 (x) , . . . , ∇h m (x) sont linéairement indépendants, il existe alors λ =
λ 1 , . . . , λ m
∈ R m (unique) tel que :
(i) ∇ x L
x, λ
= 0
et
(ii)
∇ 2
xx L
x, λ
d, d
0 pour toute direction d dans le sous-espace tangent
T (S, x) = {d ∈ R n | |∇h i (x) , d = 0 pour tout i = 1, . . . , m}.
Th´ eor` eme. Soit x ∈ O ∩ S. Supposons les ∇h 1 (x), . . . , ∇h m (x) linéairement indépendants, et supposons qu’il existe λ ∈ R m tel que :
(i) ∇ x L
x, λ
= 0
et
(ii)
∇ 2
xx L
x, λ
d, d
> 0 pour toute direction non nulle d dans le sous-espace
tangent T (S, x) = {d ∈ R n | |∇h i (x) , d = 0 pour tout i = 1, . . . , m} .
Alors x est un minimum local strict de f sur S.
Références. Chapitre III de [11].
* Exercice III.1. On considère le problème de la minimisation d’une fonction
différentiable f : R 2 → R sous la contrainte h (ξ 1 , ξ 2 ) := ξ 3
1 − ξ 2
2 = 0.
Quels sont les points vérifiant les conditions de minimalité du 1 er ordre ?
Résoudre le problème avec f : (ξ 1 , ξ 2 ) −→ f (ξ 1 , ξ 2 ) := ξ 1 + ξ 2
2 .
Solution : La fonction h définissant la contrainte (du type égalité) est continûment différentiable, mais ∇h (x) = 0 en x = (0, 0) . Par conséquent, les
points x =
ξ 1 , ξ 2
vérifiant les conditions de minimalité du 1 er ordre sont
ceux vérifiant :
h (x) = 0,
∃
λ 0 , λ 1
= (0, 0) tel que λ 0 ∇f (x) + λ 1 ∇h (x) = 0
(conditions de
F. John).
Cela conduit aux candidats suivants :
– x = (0, 0) vérifiant h (x) = 0 et ∇f (x) = λ∇h (x) pour un certain λ ∈ R
(conditions usuelles de Lagrange) ;
– x = (0, 0) (à considérer dans tous les cas de figure).
Dans l’exemple considéré, avec f (ξ 1 , ξ 2 ) := ξ 1 + ξ 2
2 , il n’y a pas de point
vérifiant des conditions de minimalité de type Lagrange ; seul x = (0, 0) est
à retenir. En effet, x = (0, 0) est le minimum de f (ξ 1 , ξ 2 ) sous la contrainte
h (ξ 1 , ξ 2 ) = 0.
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