Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
III.3. Prise en compte de la convexité
– Si S est un convexe fermé, T (S, x) est exactement l’adhérence du cône
engendré par S − x :
T (S, x) = adhérence de {d | d = α (c − x) avec c ∈ S et α 0}
= R + (S − x).
T (S, x) est alors un cône convexe fermé.
– Une direction s ∈ R n est dite normale à S en x lorsque
s, c − x 0 pour tout c ∈ S.
L’ensemble des directions normales à S en x est appelé cône normal à S en x, et
noté N (S, x). Lorsque S est un convexe fermé, N (S, x) n’est autre que le cône
polaire de T (S, x) :
N (S, x) = [T (S, x)]
◦
(et [N (S, x)]
◦ = T (S, x)) .
Th´ eor` eme. Soit f : R n → R convexe et différentiable, soit S convexe fermé. Alors
les minima de f sur S sont exactement les x ∈ S pour lesquels
−∇f (x) ∈ N (S, x) .
Par exemple, la projection x de x sur le convexe fermé S est l’élément de S
minimisant l’application u −→→ u − x (ou 1/2 u − x 2 ) sur S ; cet élément x
est unique et caractérisé par la relation suivante :
x − x, c − x 0 pour tout c ∈ S.
III.4. Conditions de minimalité du second ordre
Soit f : O ⊂ R n deux fois différentiable sur un ouvert O de R n , soit S un
ensemble-contrainte défini par m égalités h i (x) = 0 où les fonctions h i : R n → R
sont supposées deux fois différentiables. On désigne par L le lagrangien usuel
associé au problème de minimisation de f sur S, i.e.
(x, λ) ∈ O × R
m
−→ L (x, λ) := f (x) +
m
i=1
λ i h i (x) .
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