III.2. Cône tangent, cône normal à un ensemble
h i : x −→ h i (x) = a i , x − b i les fonctions-contraintes du type égalité, et Ax = b
la conjonction des m contraintes du type égalité h i (x) = 0, i = 1, . . . , m,
(S)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
Les vecteurs a i sont linéairement indépendants
(i.e. A est surjective) ;
Il existe x 0 tel que Ax 0 = b et g j (x 0 ) < 0 pour tout j = 1, . . . , p.
III.2. Cône tangent, cône normal à un ensemble
Soit x ∈ S. On dit que d ∈ R n est une direction tangente à S en x lorsqu’il
existe une suite {x k } ⊂ S convergeant vers x et une suite {t k } ⊂ R +
∗ convergeant
vers 0 telles que (x k − x) /t k → d quand k → +∞.
Autre manière de dire la même chose : d est tangente à S en x si et seulement
si : il existe {d k } → d, il existe {t k } ⊂ R +
∗ → 0, telles que x + t k d k ∈ S pour
tout k.
L’ensemble de telles directions est appelé cône tangent à S en x, et noté
T (S, x) . Il s’agit bien d’un cône et même d’un cône fermé (de sommet 0).
De plus T (S, x) = T
S, x
, ce qui fait qu’en général nous ne considérerons ce
concept de tangence que pour des S fermés.
Th´ eor` eme. Sous l’hypothèse (QC) x , on a
T (S, x) = {d | | ∇h i (x) , d = 0 pour i = 1, . . . , m et
∇g j (x) , d 0 pour j ∈ J (x)} .
Cette relation reste vraie en l’absence de (QC) x lorsque les fonctions h i et g j
sont affines.
Considérons le problème de la minimisation de f sur un ensemble-contrainte S
qui n’est pas nécessairement représenté par des égalités ou inégalités. La condition
nécessaire de minimalité locale s’énonce comme suit.
Th´ eor` eme. Si x ∈ S est un minimum local de f sur S et si f est différentiable en
x, alors
−∇f (x) ∈ [T (S, x)]
◦ ,
où [T (S, x)]
◦ désigne le cône polaire de T (S, x), c’est-à-dire
[T (S, x)]
◦ := {s | |s, d 0 pour tout d ∈ T (S, x)} .
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h i : x −→ h i (x) = a i , x − b i les fonctions-contraintes du type égalité, et Ax = b
la conjonction des m contraintes du type égalité h i (x) = 0, i = 1, . . . , m,
(S)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
Les vecteurs a i sont linéairement indépendants
(i.e. A est surjective) ;
Il existe x 0 tel que Ax 0 = b et g j (x 0 ) < 0 pour tout j = 1, . . . , p.
III.2. Cône tangent, cône normal à un ensemble
Soit x ∈ S. On dit que d ∈ R n est une direction tangente à S en x lorsqu’il
existe une suite {x k } ⊂ S convergeant vers x et une suite {t k } ⊂ R +
∗ convergeant
vers 0 telles que (x k − x) /t k → d quand k → +∞.
Autre manière de dire la même chose : d est tangente à S en x si et seulement
si : il existe {d k } → d, il existe {t k } ⊂ R +
∗ → 0, telles que x + t k d k ∈ S pour
tout k.
L’ensemble de telles directions est appelé cône tangent à S en x, et noté
T (S, x) . Il s’agit bien d’un cône et même d’un cône fermé (de sommet 0).
De plus T (S, x) = T
S, x
, ce qui fait qu’en général nous ne considérerons ce
concept de tangence que pour des S fermés.
Th´ eor` eme. Sous l’hypothèse (QC) x , on a
T (S, x) = {d | | ∇h i (x) , d = 0 pour i = 1, . . . , m et
∇g j (x) , d 0 pour j ∈ J (x)} .
Cette relation reste vraie en l’absence de (QC) x lorsque les fonctions h i et g j
sont affines.
Considérons le problème de la minimisation de f sur un ensemble-contrainte S
qui n’est pas nécessairement représenté par des égalités ou inégalités. La condition
nécessaire de minimalité locale s’énonce comme suit.
Th´ eor` eme. Si x ∈ S est un minimum local de f sur S et si f est différentiable en
x, alors
−∇f (x) ∈ [T (S, x)]
◦ ,
où [T (S, x)]
◦ désigne le cône polaire de T (S, x), c’est-à-dire
[T (S, x)]
◦ := {s | |s, d 0 pour tout d ∈ T (S, x)} .
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