Chapitre II. Minimisation sans contraintes. Conditions de minimalité
– un comportement en t x 1 au voisinage de 0, pour un certain x 1 > 0 ;
– un comportement en
1
(1−t) x 2 au voisinage de 1, pour un certain x 2 > 0.
La fonction-modèle suggérée est
t −→ ϕ(t, x) := x 3 t
x 1
1
(1 − t) x 2 ,
où x 1 > 0, x 2 > 0, x 3 > 0.
La fonction-objectif à minimiser est donc
x = (x 1 , x 2 , x 3 ) −→ f (x) =
6
i=1
x 3 t x 1
(1 − t) x 2 − d i
2
.
Questions :
– Mettre en œuvre votre méthode de minimisation favorite pour obtenir un
jeu de paramètres (x 1 , x 2 , x 3 ) acceptable (point de départ suggéré : (1,1,1)).
– Déterminer la valeur f (x) de la somme des carrés des résidus.
– Tracer sur un même graphique la fonction t −→ ϕ(t, x) et les données
(t i , d i ), i = 1, . . . , 6.
Solution : x 1 = 0, 5532 ; x 2 = 1, 9897 ; x 3 = 1, 0298 ; f (x) = 0, 0205.
Commentaire : Les problèmes d’optimisation du type « moindres carrés » sont
ceux les plus fréquemment rencontrés dans les applications.
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