II.2. Conditions de minimalité du second ordre
orthogonale de ˜
∇ 2 f (x k ) sur S n (R). L’élément S ∈ S n (R) à distance minimale
de A = ˜
∇ 2 f (x k ) existe, est unique, et caractérisé par la propriété suivante :
S ∈ S n (R)
et A − S, S = 0 pour tout S ∈ S n (R).
L’élément S :=
1
2
A + A
est la solution cherchée car
A − S, S =
1
2
A, S − − A
, S
= 0 pour tout S ∈ S n (R).
** Exercice II.11. Une situation d’application importante où la fonction-objectif
à minimiser est de la forme x −→
m
i=1
[r i (x)] 2 (« moindres carrés ») est l’ajustement de données expérimentales. D’une manière habituelle les choses se présentent comme suit : on dispose de m données d 1 , d 2 , . . . , d m correspondant aux
valeurs t 1 , t 2 , . . . , t m d’une variable t ; l’objectif est d’accorder « au mieux » aux
données (t 1 , d 1 ), (t 2 , d 2 ), . . . , (t m , d m ), une fonction-modèle t −→ ϕ(t, x) qui
contient des paramètres ajustables x 1 , x 2 , . . . , x n .
En général la forme de la fonction-modèle dépend du contexte d’origine des
données. On appelle résidus les différences entre la valeur de la fonction-modèle
ϕ(t i , x) et la valeur d i correspondant à t i , c’est-à-dire r i (x) = ϕ(t i , x) − d i (i =
1, . . . , m). Le critère mesurant l’écart (dans R m ) entre (ϕ(t 1 , x), . . . , ϕ(t m , x))
et (r 1 , . . . , r m ) fait l’objet d’un choix : c’est souvent le carré de la distance
euclidienne,
x −→ f (x) =
m
i=1
[ϕ(t i , x) − d i ]
2 =
m
i=1
[r i (x)]
2 .
Exemple. Un utilisateur a obtenu les données expérimentales suivantes pour un
problème de nature physique dans lequel le comportement des valeurs observées
est gouverné par une fonction inconnue de la variable t ∈ [0, 1].
i
1
2
3
4
5
6
t i
0,2
0,4
0,6
0,8
0,9
0,95
d i 0,7123 1,754 4.852 22,27 94,91 388,2
Selon l’utilisateur, le phénomène physique sous-jacent suggère que la fonction
t −→ d(t) doit avoir les propriétés suivantes :
61
orthogonale de ˜
∇ 2 f (x k ) sur S n (R). L’élément S ∈ S n (R) à distance minimale
de A = ˜
∇ 2 f (x k ) existe, est unique, et caractérisé par la propriété suivante :
S ∈ S n (R)
et A − S, S = 0 pour tout S ∈ S n (R).
L’élément S :=
1
2
A + A
est la solution cherchée car
A − S, S =
1
2
A, S − − A
, S
= 0 pour tout S ∈ S n (R).
** Exercice II.11. Une situation d’application importante où la fonction-objectif
à minimiser est de la forme x −→
m
i=1
[r i (x)] 2 (« moindres carrés ») est l’ajustement de données expérimentales. D’une manière habituelle les choses se présentent comme suit : on dispose de m données d 1 , d 2 , . . . , d m correspondant aux
valeurs t 1 , t 2 , . . . , t m d’une variable t ; l’objectif est d’accorder « au mieux » aux
données (t 1 , d 1 ), (t 2 , d 2 ), . . . , (t m , d m ), une fonction-modèle t −→ ϕ(t, x) qui
contient des paramètres ajustables x 1 , x 2 , . . . , x n .
En général la forme de la fonction-modèle dépend du contexte d’origine des
données. On appelle résidus les différences entre la valeur de la fonction-modèle
ϕ(t i , x) et la valeur d i correspondant à t i , c’est-à-dire r i (x) = ϕ(t i , x) − d i (i =
1, . . . , m). Le critère mesurant l’écart (dans R m ) entre (ϕ(t 1 , x), . . . , ϕ(t m , x))
et (r 1 , . . . , r m ) fait l’objet d’un choix : c’est souvent le carré de la distance
euclidienne,
x −→ f (x) =
m
i=1
[ϕ(t i , x) − d i ]
2 =
m
i=1
[r i (x)]
2 .
Exemple. Un utilisateur a obtenu les données expérimentales suivantes pour un
problème de nature physique dans lequel le comportement des valeurs observées
est gouverné par une fonction inconnue de la variable t ∈ [0, 1].
i
1
2
3
4
5
6
t i
0,2
0,4
0,6
0,8
0,9
0,95
d i 0,7123 1,754 4.852 22,27 94,91 388,2
Selon l’utilisateur, le phénomène physique sous-jacent suggère que la fonction
t −→ d(t) doit avoir les propriétés suivantes :
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