Chapitre II. Minimisation sans contraintes. Conditions de minimalité
D’une manière similaire, on déduit de (2.11) :
f (x) − θ
2
x k
(x)
=
1
0
(1 − t) ∇
2 f (x k + t (x − x k )) −
1
2
∇
2 f (x k )
(x − x k ) , x − x k
dt
=
1
0
(1 − t)
∇
2 f (x k + t (x − x k )) − ∇
2 f (x k )
(x − x k ) , x − x k
dt,
d’où, toujours grâce à la propriété de Lipschitz de ∇ 2 f, et à l’inégalité
Au |||A|||· · u encore valable pour la norme ||| · ||| (d’accord ?) :
f (x) − θ
2
x k
(x)
1
0
Lt (1 − t) x − x k
3 dt =
L
6
x − x k
3 .
2 ◦ ) On a : ∂ j f (x k ) = ∇f (x k ) , e j , d’où
[f (x k )] j − ∂ j f (x k ) =
1
h j
(f (x k + h j e j ) − f (x k ) − − ∇f (x k ) , h j e j )
=
1
h j
f (x k + h j e j ) − θ
1
x k
(x k + h j e j )
.
Il résulte alors de la 1 re question :
[f (x k )] j − ∂ j f (x k )
1
h j
L
2
h
2
j =
L
2
h j .
De manière similaire, on a pour les différences finies centrées :
f (x k )
j
−∂ j f (x k ) =
1
2h j
(f (x k +h j e j )−f (x k − h j e j )−2 ∇f (x k ) , h j e j )
=
1
2h j
f (x k + h j e j ) − θ
2
x k
(x k + h j e j )
− (f (x k − h j e j ) − θ
2
x k
(x k − h j e j )
.
Par suite
f (x k )
j
− ∂ j f (x k )
1
2h j
2
L
6
h
3
j
=
L
6
h
2
j .
3 ◦ ) ˜
∇ 2 f (x k ) n’étant pas symétrique alors que ∇ 2 f (x k ) l’est toujours, on
cherche S ∈ S n (R) la plus proche de ˜
∇ 2 f (x k ) (∈ M n (R)) .
M n (R) est structuré en espace euclidien grâce au produit scalaire
A, B = tr
A B
, et la distance considérée est celle associée à ce produit
scalaire :
|||A − B||| = ( A − B, A − B )
1/2 . L’ensemble S n (R) étant un sousespace vectoriel de M n (R), le problème posé est donc celui de la projection
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