II.2. Conditions de minimalité du second ordre
où e 1 , . . . , e n sont les vecteurs de la base canonique de R n et h 1 , . . . , h n des
réels strictement positifs.
Montrer que pour tout j = 1, . . . , n :
[f (x k )] j − ∂ j f (x k )
L
2
h j ,
f (x k )
j
− ∂ j f (x k )
L
6
h
2
j .
3 ◦ ) On suppose ici qu’on a accès aux évaluations de ∇f et on propose une
approximation de ∇ 2 f (x k ) de la forme suivante :
˜
∇
2 f (x k ) :=
[∇f (x k + h j e j )] i − [∇f (x k − h j e j )] i
2h j
1i,jn
.
Cette approximation est obtenue par différences finies centrées à partir du
gradient de f , le terme (i, j) de ˜
∇ 2 f (x k ) est une approximation de ∂ 2
ij f (x k ) .
Montrer qu’il existe une et une seule matrice symétrique la plus proche de
˜
∇ 2 f (x k ) au sens de la distance associée à ||| · |||, et déterminer cette matrice en
fonction de ˜
∇ 2 f (x k ) .
Solution : 1 ◦ ) Grâce aux développements de Taylor avec restes sous formes
d’intégrales on a :
f (x) = f (x k ) +
1
0
∇f (x k + t (x − x k )) , x − x k dt,
(2.10)
f (x) = f (x k ) + ∇f (x k ) , x − x k +
( 2 .11)
1
0
(1 − t)
∇
2 f (x k + t (x − x k )) (x − x k ) , x − x k
dt.
Il vient alors de (2.10)
f (x) − θ
1
x k
(x) =
1
0
∇f (x k + t (x − x k )) − ∇f (x k ), x − x k dt,
d’où, grâce à la propriété de Lipschitz de ∇f,
f (x) − θ
1
x k
(x)
1
0
Lt x − x k
2 dt =
L
2
x − x k
2 .
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