III
MINIMISATION AVEC CONTRAINTES.
CONDITIONS DE MINIMALITÉ
Rappels
III.1. Conditions de minimalité du premier ordre
Soit f : O ⊂ R n → IR différentiable sur un ouvert O de R n , soit S un
ensemble-contrainte décrit par m égalités et p inégalités
S := {x ∈ R
n
| h 1 (x) = 0, . . . , h m (x) = 0, g 1 (x) 0, . . . , g p (x) 0}
où les m + p fonctions h i , g j : R n → R sont supposées continûment différentiables sur R n .
Th´ eor` eme (F. John). Si x ∈ O ∩S est un minimum local de f sur S, alors il existe
λ 1 , . . . , λ m , μ 0 , μ 1 , . . . , μ p non tous nuls tels que :
(i) μ 0 ∇f (x) +
m
i=1
λ i ∇h i (x) +
p
j=1
μ j ∇g j (x) = 0 ;
(ii) μ j 0 pour tout j = 0, 1, . . . , p ;
(iii) μ j = 0 si g j (x) < 0.
On écarte l’éventualité μ 0 = 0 (peu informative sur x ) en faisant une hypothèse de qualification des contraintes en x, c’est-à-dire une hypothèse sur les
MINIMISATION AVEC CONTRAINTES.
CONDITIONS DE MINIMALITÉ
Rappels
III.1. Conditions de minimalité du premier ordre
Soit f : O ⊂ R n → IR différentiable sur un ouvert O de R n , soit S un
ensemble-contrainte décrit par m égalités et p inégalités
S := {x ∈ R
n
| h 1 (x) = 0, . . . , h m (x) = 0, g 1 (x) 0, . . . , g p (x) 0}
où les m + p fonctions h i , g j : R n → R sont supposées continûment différentiables sur R n .
Th´ eor` eme (F. John). Si x ∈ O ∩S est un minimum local de f sur S, alors il existe
λ 1 , . . . , λ m , μ 0 , μ 1 , . . . , μ p non tous nuls tels que :
(i) μ 0 ∇f (x) +
m
i=1
λ i ∇h i (x) +
p
j=1
μ j ∇g j (x) = 0 ;
(ii) μ j 0 pour tout j = 0, 1, . . . , p ;
(iii) μ j = 0 si g j (x) < 0.
On écarte l’éventualité μ 0 = 0 (peu informative sur x ) en faisant une hypothèse de qualification des contraintes en x, c’est-à-dire une hypothèse sur les