II.2. Conditions de minimalité du second ordre
En règle générale, les conditions de minimalité d’ordre supérieur (à deux) sont
difficiles à utiliser car, contrairement à ∇ 2 f (x), il n’y a pas de « théorie spectrale »
simple qui va avec les formes 2p-linéaires ∇ 2p f (x).
Indication. ∇ 3 f (x) (resp. ∇ 4 f (x)) désigne la forme trilinéaire (resp. la forme
quadrilinéaire) différentielle d’ordre trois (resp. d’ordre quatre) de f en x.
Exprimer f en x + tu + t 2 v à l’aide du développement de Taylor-Young à l’ordre
quatre de f en x.
Solution :
1 ◦ ) Étant donnés u ∈ H, v ∈ R n et t = 0, exprimons f en
x + tu + t 2 v = x + t(u + tv) à l’aide du développement de Taylor-Young à
l’ordre quatre de f en x. Sachant que ∇f (x) = 0 et ∇ 2 f (x)u = 0, on obtient :
f (x + tu + t 2 v) = f (x) +
t 3
6 ∇ 3 f (x)(u, u, u) +
t 4
24
12∇ 2 f (x)v, v + 12∇ 3 f (x)(u, u, v) + ∇ 4 f (x)(u, u, u, u)
+ t 4 ε(t),
(2.8)
où ε(t) −→ 0 quand t −→ 0.
Puisque f (x + tu + t 2 v) f (x) pour t suffisamment petit, il vient du
développement ci-dessus
f (x + tu + t
2 v) − f (x)
/
t 3
6
−−→
→0
∇
3 f (x)(u, u, u) 0.
La même inégalité étant valable en −u (∈ H),
0 ∇
3 f (x)(−u, −u, −u) = −∇
3 f (x)(u, u, u),
on en déduit (a).
Ensuite, en procédant de la même manière pour le bloc facteur de t 4 /24
dans (2.8), on arrive à :
12∇
2 f (x)v, v + 12∇
3 f (x)(u, u, v) + ∇
4 f (x)(u, u, u, u) 0 pour tout v ∈ R
n .
Écrivons cette inégalité en αv, α ∈ R ; il vient :
12α 2 ∇ 2 f (x)v, v + 12α∇ 3 f (x)(u, u, v) + ∇ 4 f (x)(u, u, u, u) 0
pour tout α ∈ R, v ∈ R n .
(2.9)
Choisissons v = 0 dans H ⊥ ; alors la positivité du trinôme du second degré
dans (2.9) se traduit en disant que son discriminant est négatif, d’où (b).
57