Chapitre II. Minimisation sans contraintes. Conditions de minimalité
Lorsque n = 2, les courbes de niveau de f sont alors des ellipses très effilées,
et on observe facilement la convergence lente en zigzags de (x k ) vers x.
Pour être sûr d’avoir
f (x k )−f
f (x 0 )−f
ε, il faudrait
k
ln ε
2 ln
c 2 (A)−1
c 2 (A)+1
∼
c 2 (A)
4
ln
1
ε
(quand c 2 (A) −→ +∞).
*** Exercice II.9. Soit O un ouvert de R n et f : O −→ R quatre fois différentiable en x ∈ O. On suppose que x est un minimum local de f , ce qui implique :
∇f (x) = 0, ∇
2 f (x) est semi-définie positive.
On suppose également que ∇ 2 f (x) n’est pas nulle et on pose H := Ker ∇ 2 f (x).
1 ◦ ) Montrer que l’on a nécessairement :
(a) ∇ 3 f (x)(u, u, u) = 0 pour tout u ∈ H ;
(b) ∇ 4 f (x)(u, u, u, u) · ·∇ 2 f (x)v, v − 3
∇ 3 f (x)(u, u, v)
2 0 pour tout
(u, v) ∈ H × H ⊥ .
2 ◦ ) On prend l’exemple d’une fonction f de deux variables, où x = (0, 0) est
un point critique de f et où ∇ 2 f (x) =
0 0
0 λ
avec λ =
∂ 2 f
∂x 2
2
(x) > 0.
Quelles formes prennent les conditions (a) et (b) dans ce cas ?
Application. Soit f : R 2 −→ R
(x 1 , x 2 ) −→ f (x 1 , x 2 ) := 3x
4
1 − 4x
2
1 x 2 + x
2
2 .
Au vu de ce qui a été établi, décider si x = (0, 0) est un minimum local de f ou
non.
Commentaire : Le cas où ∇f (x) = 0 et ∇ 2 f (x) est semi-définie positive est
ce qu’on peut appeler « cas d’incertitude », car les conditions de minimalité du
second ordre ne permettent pas de décider. Les conditions (a) et (b) considérées
ici sont des conditions nécessaires de minimalité d’ordre trois et quatre. Comme
bien entendu, on s’attend à des conditions suffisantes de minimalité locale en
remplaçant l’inégalité au sens large de (b) par une inégalité stricte (pour tous les
vecteurs non nuls u et v).
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Lorsque n = 2, les courbes de niveau de f sont alors des ellipses très effilées,
et on observe facilement la convergence lente en zigzags de (x k ) vers x.
Pour être sûr d’avoir
f (x k )−f
f (x 0 )−f
ε, il faudrait
k
ln ε
2 ln
c 2 (A)−1
c 2 (A)+1
∼
c 2 (A)
4
ln
1
ε
(quand c 2 (A) −→ +∞).
*** Exercice II.9. Soit O un ouvert de R n et f : O −→ R quatre fois différentiable en x ∈ O. On suppose que x est un minimum local de f , ce qui implique :
∇f (x) = 0, ∇
2 f (x) est semi-définie positive.
On suppose également que ∇ 2 f (x) n’est pas nulle et on pose H := Ker ∇ 2 f (x).
1 ◦ ) Montrer que l’on a nécessairement :
(a) ∇ 3 f (x)(u, u, u) = 0 pour tout u ∈ H ;
(b) ∇ 4 f (x)(u, u, u, u) · ·∇ 2 f (x)v, v − 3
∇ 3 f (x)(u, u, v)
2 0 pour tout
(u, v) ∈ H × H ⊥ .
2 ◦ ) On prend l’exemple d’une fonction f de deux variables, où x = (0, 0) est
un point critique de f et où ∇ 2 f (x) =
0 0
0 λ
avec λ =
∂ 2 f
∂x 2
2
(x) > 0.
Quelles formes prennent les conditions (a) et (b) dans ce cas ?
Application. Soit f : R 2 −→ R
(x 1 , x 2 ) −→ f (x 1 , x 2 ) := 3x
4
1 − 4x
2
1 x 2 + x
2
2 .
Au vu de ce qui a été établi, décider si x = (0, 0) est un minimum local de f ou
non.
Commentaire : Le cas où ∇f (x) = 0 et ∇ 2 f (x) est semi-définie positive est
ce qu’on peut appeler « cas d’incertitude », car les conditions de minimalité du
second ordre ne permettent pas de décider. Les conditions (a) et (b) considérées
ici sont des conditions nécessaires de minimalité d’ordre trois et quatre. Comme
bien entendu, on s’attend à des conditions suffisantes de minimalité locale en
remplaçant l’inégalité au sens large de (b) par une inégalité stricte (pour tous les
vecteurs non nuls u et v).
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