II.2. Conditions de minimalité du second ordre
Ainsi g (ou f ) agit comme ce qu’il est convenu d’appeler une « fonctionbarrière » sur Ω. Il en résulte ainsi qu’il existe bien X ∈ Ω minimisant f
sur Ω (cf. Commentaire suivant l’Exercice II.1).
L’unicité de X est une conséquence de la stricte convexité de la fonction X ∈ Ω −→ → B, X −1 , qui se voit mieux via la stricte convexité
de Y ∈ Ω −→ → I n , Y −1 = tr(Y −1 ).
2 ◦ ) (i) La différentielle Df (X) de f en X ∈ Ω est facile à obtenir :
Df (X) : H ∈ S n (R) −→ → A − X
−1 BX
−1 , H .
Le problème (essentiellement sans contraintes) (P) étant celui de la minimisation d’une fonction convexe différentiable, X ∈ Ω est solution de (P) si et
seulement si A − X
−1 BX
−1 = 0, soit XAX = B.
(ii) Étant le produit de deux matrices définies positives, BA est diagonalisable et son spectre est constitué exclusivement de réels > 0 (cf. Exercice 1.17).
Si on diagonalise BA avec P ,
P
−1 (BA)P = diag(λ 1 , . . . , λ n ) (λ i valeurs propres de BA),
la matrice M := P diag(
√
λ 1 , . . . ,
√
λ n )P −1 vérifie M 2 = BA, et il vient immédiatement que X = M −1 B est la solution cherchée.
(iii) La valeur optimale dans (P) est
f (X) = tr(AM
−1 B + B(M
−1 B)
−1 )
= 2 trM ;
c’est donc la somme des racines carrées des valeurs propres de BA (ou de AB).
La symétrie en A et B de la valeur optimale pouvait être notée dès le
départ, en raison de la forme particulière de (P).
3 ◦ ) De l’égalité
√
λ 1 +
√
λ 2 =
λ 1 + λ 2 + 2
√
λ 1 λ 2 écrite pour λ 1 , λ 2 , valeurs propres de BA, il vient
λ 1 +
λ 2 = trM =
tr(BA) + 2
dét(BA),
d’où l’expression annoncée.
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