Chapitre II. Minimisation sans contraintes. Conditions de minimalité
** Exercice II.7. Soit g : R n −→ R une fonction convexe et différentiable sur
R n , soit h : R n −→ R ∪ {+∞} une fonction convexe sur R n , finie en au moins
un point. On pose f := g + h et on considère le problème de la minimisation de
f sur R n .
1 ◦ ) Montrer que x minimise f sur R n si et seulement si
< ∇g(x), x − x > + h(x) − h(x) 0 pour tout x ∈ R
n .
(2.3)
2
◦ ) Vérifier que (2.3) est équivalente à
< ∇g(x), x − x > + h(x) − h(x) 0 pour tout x ∈ R
n .
(2.4)
Solution : 1 ◦ ) Soit x minimisant f sur R n . Étant donné x ∈ R n et α ∈ ]0, 1[,
on a f (αx + (1 − α)x) f (x), ce qui se traduit par
g(x) + h(x) g(αx + (1 − α)x) + h(αx + (1 − α)x).
En utilisant l’inégalité de convexité h(αx + (1 − α)x) αh(x) + (1 − α)h(x)
et en divisant par α > 0, on obtient
0
g(x + α(x − x)) − g(x)
α
+ h(x) − h(x).
En faisant tendre α vers 0, on obtient précisément (2.3).
Réciproquement, soit x vérifiant (2.3). La convexité de g induit
g(x) g(x) + ∇g(x), x − x,
ce qui, combiné avec (2.3), entraîne g(x) + h(x) g(x) + h(x).
2 ◦ ) Soit x vérifiant (2.3). La fonction g étant convexe, l’application ∇g
vérifie : ∇g(x) − ∇g(x), x − x 0. D’où (2.4) s’ensuit.
Soit à présent x vérifiant (2.4). Considérons x ∈ R n et α ∈ ]0, 1[. Il vient
alors de (2.4) :
α∇g((1 − α)x + αx), x − x + h ((1 − α)x + αx) − h(x) 0,
ce qui, avec l’inégalité de convexité de h déjà vue plus haut, donne
α∇g((1 − α)x + αx), x − x + α[h(x) − h(x)] 0.
Divisons par α et faisons tendre α vers 0 ; sachant que ∇g est continue (d’accord ?), on obtient précisément (2.3).
52