Chapitre II. Minimisation sans contraintes. Conditions de minimalité
Indication. Le cas simple où n = 1 permet de guider la démarche et de contrôler
les résultats.
Solution : S n (R) est structuré en espace euclidien grâce au produit scalaire
U, V = tr (UV ) .
Le problème (P) est celui de la minimisation sur (le cône convexe ouvert)
◦
P n (R) =: Ω de la fonction-objectif X −→ f (X) = A, X +
B, X −1 .
1 ◦ ) L’application X ∈ Ω −→ X −1 ∈ Ω est bijective et de classe C ∞ ; il
s’ensuit que f est C ∞ sur Ω. De l’inégalité de convexité
U, V dans Ω
α ∈ ]0, 1[
⇒
[αU + (1 − α) V ]
−1
αU
−1 + (1 − α) V
−1
,
et de la (semi-) définie positivité de B, on déduit que X −→ → B, X −1 est
convexe sur Ω (d’accord ?).
De manière à concentrer sur une seule partie toute la contribution de A et
B aux deux parties de f (X), posons C := A 1/2 BA 1/2 . Comme
f (X) = tr
A
1/2
A
1/2 XA
1/2
A
−1/2 + C
A
1/2 XA
1/2
−1
= tr
A
1/2 XA
1/2 + C
A
1/2 XA
1/2
−1
et que l’application X ∈ Ω −→ Y :=
A 1/2 XA 1/2 −1 ∈ Ω est visiblement une
bijection de Ω sur Ω, le problème (P) est équivalent à celui de la minimisation de
Y −→ g(Y ) := tr
Y
−1 + CY
= I n , Y
−1
+ C, Y
sur Ω.
La frontière fr Ω de Ω est exactement l’ensemble des matrices semi-définies
positives singulières (i.e., dont la plus petite valeur propre est nulle). En conséquence :
Y ∈ Ω −→ Y 0 ∈ fr Ω
(ou X ∈ Ω −→ X 0 ∈ fr Ω)
=⇒
g(Y ) −→ +∞
(ou f (X) −→ +∞)
.
De même, un calcul (pas trop difficile) sur les matrices définies positives conduit
à élucider le comportement à l’infini :
Y ∈ Ω, Y ∞
(ou X ∈ Ω, X ∞)
=⇒
g(Y ) −→ +∞
(ou f (X) −→ +∞)
.
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