II.2. Conditions de minimalité du second ordre
Alors ϕ (1) = ϕ (t 0 ) ∈ [ϕ (0) , ϕ (t 1 )] et, d’après le théorème des valeurs
intermédiaires, il existe t 2 ∈ [0, t 1 ] tel que ϕ (t 2 ) = ϕ (1) (= f (x)) . Par conséquent, t 2 ∈ ]0, t 1 ] ∩ S ϕ , et puisque t 1 < t 0 , ceci contredit la définition de t 0
comme borne inférieure de S ϕ .
Figure 5.
Remarque : Dans l’assertion de droite de l’énoncé, on ne peut pas remplacer « minimum local de f » par « point critique de f » ; prendre l’exemple de
f : x ∈ R −→ f (x) = x 3 .
*** Exercice II.6. On désigne par
◦
P n (R)l’ensemble des matrices définies positives de taille n (c’est un ouvert de S n (R)). Étant donnés A et B dans
◦
P n (R),
on considère le problème de minimisation suivant :
(P)
Minimiser f (X) := tr (AX) + tr
BX −1
X ∈
◦
P n (R).
1 ◦ ) Quelles propriétés de f , utiles pour sa minimisation (différentiabilité,
convexité, coercivité) peut-on dégager ? En déduire que le problème (P) a une
et une seule solution.
2 ◦ ) (i) Vérifier que la solution de (P) est la (seule) matrice X vérifiant
XAX = B.
(ii) Donner, à partir de BA (ou de AB), une procédure permettant de
construire X.
(iii) En déduire la valeur optimale dans (P) .
3 ◦ ) On fait n = 2 ici. Montrer que la valeur optimale dans (P) est
2
tr (AB) + 2
dét (AB).
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Alors ϕ (1) = ϕ (t 0 ) ∈ [ϕ (0) , ϕ (t 1 )] et, d’après le théorème des valeurs
intermédiaires, il existe t 2 ∈ [0, t 1 ] tel que ϕ (t 2 ) = ϕ (1) (= f (x)) . Par conséquent, t 2 ∈ ]0, t 1 ] ∩ S ϕ , et puisque t 1 < t 0 , ceci contredit la définition de t 0
comme borne inférieure de S ϕ .
Figure 5.
Remarque : Dans l’assertion de droite de l’énoncé, on ne peut pas remplacer « minimum local de f » par « point critique de f » ; prendre l’exemple de
f : x ∈ R −→ f (x) = x 3 .
*** Exercice II.6. On désigne par
◦
P n (R)l’ensemble des matrices définies positives de taille n (c’est un ouvert de S n (R)). Étant donnés A et B dans
◦
P n (R),
on considère le problème de minimisation suivant :
(P)
Minimiser f (X) := tr (AX) + tr
BX −1
X ∈
◦
P n (R).
1 ◦ ) Quelles propriétés de f , utiles pour sa minimisation (différentiabilité,
convexité, coercivité) peut-on dégager ? En déduire que le problème (P) a une
et une seule solution.
2 ◦ ) (i) Vérifier que la solution de (P) est la (seule) matrice X vérifiant
XAX = B.
(ii) Donner, à partir de BA (ou de AB), une procédure permettant de
construire X.
(iii) En déduire la valeur optimale dans (P) .
3 ◦ ) On fait n = 2 ici. Montrer que la valeur optimale dans (P) est
2
tr (AB) + 2
dét (AB).
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