Optimisation et analyse convexe
V
Polyèdres convexes fermés. Optimisation à données affines
(Programmation linéaire)
165
V.1
Polyèdres convexes fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
V.2
Optimisation à données affines (Programmation linéaire) . . . 168
V.2.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
V.2.2 Résultats fondamentaux d’existence . . . . . . . . . . 170
V.3
La dualité en programmation linéaire . . . . . . . . . . . . . . 171
V.3.1 Formulations de problèmes duaux . . . . . . . . . . . . 171
V.3.2 Relations entre les valeurs optimales et les solutions
de programmes linéaires en dualité . . . . . . . . . . . 172
V.3.3 Caractérisation simultanée des solutions du problème
primal et du problème dual . . . . . . . . . . . . . . . 173
VI Ensembles et fonctions convexes. Projection sur un convexe
fermé
217
VI.1 Ensembles convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
VI.1.1 Ensembles convexes associés à un convexe donné . . . 217
VI.1.2 Enveloppe convexe, enveloppe convexe fermée . . . . . 218
VI.1.3 Hyperplan d’appui, fonction d’appui . . . . . . . . . . 219
VI.1.4 Théorèmes de séparation par un hyperplan affine . . . 219
VI.2 Projection sur un convexe fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
VI.3 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
VII Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées
de Legendre-Fenchel
271
VII.1 La transformation de Legendre-Fenchel . . . . . . . . . . . . . 271
VII.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
VII.1.2 Quelques propriétés et règles de calcul . . . . . . . . . 272
VII.2 Le sous-différentiel d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . 273
VII.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
VII.2.2 Quelques propriétés et règles de calcul . . . . . . . . . 274
VII.3 La convexification d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Sources
323
Références générales
325
Notice historique
327
Index
331
iv