Chapitre II. Minimisation sans contraintes. Conditions de minimalité
2 ◦ ) Résoudre le problème posé en précisant : les conditions d’existence et
d’unicité des solutions, comment caractériser ces solutions, les propriétés particulières des solutions.
Figure 4.
Solution : 1 ◦ ) Soit
M 1 = A 1 + t 1 v 1 , t 1 ∈ R
M 2 = A 2 + t 2 v 2 , t 2 ∈ R,
de sorte que
− −−− →
M 1 M 2
2 =
− −− →
A 2 A 1 + t 1 v 1 − t 2 v 2
2 .
Le problème consiste à minimiser
f (t 1 , t 2 ) :=
− −−− →
M 1 M 2
2 , (t 1 , t 2 ) ∈ R
2 .
On a :
f (t 1 , t 2 ) = t
2
1 v 1
2 + t
2
2 v 2
2
− 2t 1 t 2 v 1 , , v 2 + 2t 1
− −− →
A 2 A 1 , , v 1
− 2t 2
− −− →
A 2 A 1 , , v 2 +
− −− →
A 2 A 1
2 .
f est une fonction quadratique de la variable t = (t 1 , t 2 ), convexe même
car
∇
2 f (t 1 , t 2 ) = 2
v 1 2 −− v 1 , , v 2
−− v 1 , , v 2 v 2 2
est semi-définie positive pour tout (t 1 , t 2 ) ∈ R 2 .
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