II.2. Conditions de minimalité du second ordre
Montrons que {x k } est bornée. Si ce n’était pas le cas, il existerait une
sous-suite {x k l } l de {x k } telle que x k l → +∞ quand l → +∞. Par la
0-coercivité de f sur S (hypothèse (iv)), cela impliquerait
f =
lim
l→+∞
f (x k l ) = +∞,
ce qui est impossible.
La suite {x k } étant bornée, il existe une sous-suite {x k l } qui converge vers
un élément x de S. D’où, grâce à la semi-continuité inférieure de f,
f =
lim
l→+∞
f (x k l ) f (x).
Comme f (x) > −∞ et f (x) f , on en déduit que la valeur f est finie et
atteinte en x.
Autre démonstration : Soit x 0 ∈ S en lequel f est finie ; puisque f (x) →
+∞ quand x → +∞, x ∈ S, il existe r (> x 0 ) tel que
f (x) f (x 0 ) dès que x ∈ S, x > r.
Donc minimiser f sur S revient à minimiser f sur S ∩ B (0, r) .
Commentaire : Le résultat de l’exercice est utilisé fréquemment dans le contexte
suivant. Soit Ω un ouvert de R n et g : Ω → R vérifiant :
g est continue sur Ω ; g(x) → +∞ quand x → a ∈ fr Ω ;
lim
x → +∞
x ∈ Ω
g(x) = +∞.
Alors, si S est un fermé tel que S ∩ Ω = ∅, g est bornée inférieurement sur
S ∩ Ω et il existe x ∈ S ∩ Ω tel que g(x) = inf x∈S∩Ω g(x). Il suffit pour voir cela
de considérer f : x ∈ R n −→ f (x) := g(x) si x ∈ Ω, +∞ sinon.
** Exercice II.2. Soit D 1 := {A 1 + tt v 1 | t ∈ R} et D 2 := {A 2 + tt v 2 | t ∈ R} deux
droites affines de R n définies à l’aide des points A i et des vecteurs directeurs
non nuls v i . On cherche les points M 1 ∈ D 1 et M 2 ∈ D 2 minimisant la distance
(euclidienne) de M 1 à M 2 .
1 ◦ ) Formaliser le problème ci-dessus comme un problème de minimisation
convexe sans contraintes.
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Montrons que {x k } est bornée. Si ce n’était pas le cas, il existerait une
sous-suite {x k l } l de {x k } telle que x k l → +∞ quand l → +∞. Par la
0-coercivité de f sur S (hypothèse (iv)), cela impliquerait
f =
lim
l→+∞
f (x k l ) = +∞,
ce qui est impossible.
La suite {x k } étant bornée, il existe une sous-suite {x k l } qui converge vers
un élément x de S. D’où, grâce à la semi-continuité inférieure de f,
f =
lim
l→+∞
f (x k l ) f (x).
Comme f (x) > −∞ et f (x) f , on en déduit que la valeur f est finie et
atteinte en x.
Autre démonstration : Soit x 0 ∈ S en lequel f est finie ; puisque f (x) →
+∞ quand x → +∞, x ∈ S, il existe r (> x 0 ) tel que
f (x) f (x 0 ) dès que x ∈ S, x > r.
Donc minimiser f sur S revient à minimiser f sur S ∩ B (0, r) .
Commentaire : Le résultat de l’exercice est utilisé fréquemment dans le contexte
suivant. Soit Ω un ouvert de R n et g : Ω → R vérifiant :
g est continue sur Ω ; g(x) → +∞ quand x → a ∈ fr Ω ;
lim
x → +∞
x ∈ Ω
g(x) = +∞.
Alors, si S est un fermé tel que S ∩ Ω = ∅, g est bornée inférieurement sur
S ∩ Ω et il existe x ∈ S ∩ Ω tel que g(x) = inf x∈S∩Ω g(x). Il suffit pour voir cela
de considérer f : x ∈ R n −→ f (x) := g(x) si x ∈ Ω, +∞ sinon.
** Exercice II.2. Soit D 1 := {A 1 + tt v 1 | t ∈ R} et D 2 := {A 2 + tt v 2 | t ∈ R} deux
droites affines de R n définies à l’aide des points A i et des vecteurs directeurs
non nuls v i . On cherche les points M 1 ∈ D 1 et M 2 ∈ D 2 minimisant la distance
(euclidienne) de M 1 à M 2 .
1 ◦ ) Formaliser le problème ci-dessus comme un problème de minimisation
convexe sans contraintes.
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