Chapitre II. Minimisation sans contraintes. Conditions de minimalité
II.2. Conditions de minimalité du second ordre
Soit O un ouvert de R n et f : O → R.
– Si x ∈ O est un minimum local de f et si f est deux fois différentiable en
x, alors
∇f (x) = 0 et ∇
2 f (x) est semi-définie positive.
– Si x ∈ O est un point où f est deux fois différentiable et si :
∇f (x) = 0, ∇
2 f (x) est définie positive,
alors x est un minimum local strict de f.
Références. Chapitre II de [11].
** Exercice II.1. Soit f : R n → R ∪ {+∞} et S ⊂ R n . On suppose que :
(i) S est fermé ;
(ii) f est semi-continue inférieurement sur R n ;
(iii) Il existe un point de S en lequel f est finie ;
(iv)
lim
x → +∞
x ∈ S
f (x) = +∞.
Montrer que f est bornée inférieurement sur S et qu’il existe x ∈ S tel que
f (x) = inf x∈S f (x).
Indication. On montrera que toute suite minimisante pour f sur S est bornée,
ou bien on commencera par traiter le cas où S est borné et on ramènera le cas
général à ce cas grâce à l’hypothèse de 0-coercivité de f sur S (hypothèse (iv)).
Solution : On rappelle tout d’abord les différentes caractérisations de « f est
semi-continue inférieurement sur R n » :
– En tout point x ∈ R n , on a lim inf x →x f (x ) f (x) (inégalité dans
R ∪ {+∞}) ;
– ∀ α ∈ R, {x ∈ R
n
| f (x) α} est fermé ;
– epif := {(x, r) ∈ R
n
× R | f (x) r} est fermé.
Soit f := inf S f (∈ R ∪ {−∞}) et soit {x k } ⊂ S une suite minimisante pour f
sur S, i.e., telle que f (x k ) → f quand k → +∞.
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