II
MINIMISATION SANS CONTRAINTES.
CONDITIONS DE MINIMALITÉ
Rappels
– f : R n → R (ou même R ∪ {+∞}) est dite 0-coercive (resp. 1-coercive) sur
C ⊂ R n lorsque
lim
x → +∞
x ∈ C
f (x) = +∞ (resp.
lim
x → +∞
x ∈ C
f (x)
x
= +∞).
– Si C est convexe et si f : C → R est strictement convexe sur C, alors il
existe au plus un x ∈ C minimisant f sur C.
II.1. Conditions de minimalité du premier ordre
Soit O un ouvert de R n et f : O → R.
– Si x ∈ O est un minimum local de f et si f est différentiable en x, alors
∇f (x) = 0.
– On suppose O convexe et f convexe sur O. Alors les conditions suivantes
relatives à x ∈ O sont équivalentes :
(i) x est un minimum (global) de f sur O ;
(ii) x est un minimum local de f .
Et si f est différentiable en x, on a une troisième condition équivalente :
(iii) ∇f (x) = 0.
MINIMISATION SANS CONTRAINTES.
CONDITIONS DE MINIMALITÉ
Rappels
– f : R n → R (ou même R ∪ {+∞}) est dite 0-coercive (resp. 1-coercive) sur
C ⊂ R n lorsque
lim
x → +∞
x ∈ C
f (x) = +∞ (resp.
lim
x → +∞
x ∈ C
f (x)
x
= +∞).
– Si C est convexe et si f : C → R est strictement convexe sur C, alors il
existe au plus un x ∈ C minimisant f sur C.
II.1. Conditions de minimalité du premier ordre
Soit O un ouvert de R n et f : O → R.
– Si x ∈ O est un minimum local de f et si f est différentiable en x, alors
∇f (x) = 0.
– On suppose O convexe et f convexe sur O. Alors les conditions suivantes
relatives à x ∈ O sont équivalentes :
(i) x est un minimum (global) de f sur O ;
(ii) x est un minimum local de f .
Et si f est différentiable en x, on a une troisième condition équivalente :
(iii) ∇f (x) = 0.