Chapitre I. Révision de bases : calcul différentiel...
3 ◦ )
R M = ImB ⊕ Ker
B
Tout multiplicateur de Lagrange λ (i.e., toute seconde composante de pointselle de L r ) se décompose en λ =
λ + s, où
λ est la projection de l’origine sur
le sous-espace affine des multiplicateurs de Lagrange, et s ∈ Ker(B ).
Désignons par p 2 le projecteur orthogonal de R M d’image Ker(B ) (et de
noyau ImB). Puisque λ n+1 = λ n + ρBx n , on a : p 2 (λ n+1 ) = p 2 (λ n ) pour tout
n ∈ N, donc :
p 2 (λ n ) = p 2 (λ 0 ) = λ 0,2 pour tout n.
On sait que lim
n−→+∞
x n − x = 0, et l’égalité
A + rB
B
(x n − x) + B
(λ n − λ) = 0
vue au 1 ◦ ) de C, donne : lim
n−→+∞
B
(λ n − λ) = 0.
Or l’application u ∈ ImB −→→ B u est une norme sur ImB. En écrivant
λ n − λ = (id R M − p 2 )(λ n − λ) + p 2 (λ n − λ)
décomposition suivant
ImB ⊕ Ker(B )
et
B
(λ n − λ) = B
(id R M − p 2 )(λ n − λ)
,
on a donc lim
n−→+∞
(id R M − p 2 )(λ n − λ) = 0, soit lim
n−→+∞
(id R M − p 2 )(λ n ) =
λ.
En rassemblant : λ n −→
λ + λ 0,2 quand n −→ +∞.
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