I.3. Fonctions convexes
b) Par choix de ρ n , on a : 2r − ρ n > −
2
σ∗ et ρ n α 0 > 0 pour tout n.
Alors
λ n − λ
2
− − λ n+1 − λ
2 = ρ n [(2r − ρ n ) B(x n − x)
2
+ 2A(x n − x), x n − x] α 0
−
2
σ ∗
B(x n − x)
2 + 2A(x n − x), x n − x
.
Comme A(x n − x), x n − x
1
σ∗ B(x n − x) 2 (voir la formulation variationnelle de σ ∗ et se rappeler que σ ∗ > 0), le second membre de l’inégalité
précédente est 0.
Or λ n − λ 2 − − λ n+1 − λ 2 −→ 0 quand n −→ +∞ (puisque la suite
de réels positifs ( λ n − λ 2 ) n est décroissante) ; donc
A(x n − x), x n − x −
1
σ ∗
B(x n − x)
2
−→ 0 quand n −→ +∞.
Utilisons à présent l’inégalité stricte α 1 < 2
r +
1
σ∗
:
2σ ∗ A(x n − x), x n − x + σ ∗ (2r − ρ n ) B(x n − x)
2
⎛
⎝
suite dont on sait
qu’elle tend vers 0
quand n −→ +∞
⎞
⎠
=
⎡
⎢
⎣ 2σ ∗ A(x n − x), x n − x − 2 B(x n − x)
2
élément 0
⎤
⎥
⎦
+ σ ∗
⎡
⎢
⎢
⎣ (2(r +
1
σ ∗
) − ρ n )
B(x n − x)
2
⎤
⎥
⎥
⎦
>0
2(r+
1
σ∗
)−α 1 >0.
Par conséquent : lim
n−→+∞
B(x n −x)
2 = 0, et lim n−→+∞ A(x n −x), x n −
x = 0.
Comme A(x n − x), x n − x σ x n − x 2 , avec σ > 0 plus petite valeur
propre de A, il s’ensuit lim
n−→+∞
x n − x = 0.
39