II.2. Conditions de minimalité du second ordre
Le problème posé peut donc être formalisé en
(P)
Minimiser f (t 1 , t 2 )
(t 1 , t 2 ) ∈ R 2 .
2 ◦ ) Les solutions
t 1 , t 2
de (P) sont les solutions de ∇f
t 1 , t 2
= 0, soit
encore
(S)
t 1 v 1 2 − t 2 v 1 , , v 2 = −−
− −− →
A 2 A 1 , , v 1
t 2 v 2 2 − t 1 v 1 , , v 2 =
− −− →
A 2 A 1 , , v 2 .
1 er cas : v 1 et v 2 sont colinéaires, i.e., D 1 et D 2 sont parallèles. Il y a une
infinité de solutions à (S) ; en posant v 2 = αα v 1 , ce sont les
t 1 , t 2
vérifiant
t 1 − αt 2
v 1
2 = −−
− −− →
A 2 A 1 , , v 1 .
Les points M 1 , M 2 correspondants sont
M 1 = A 1 + t 1 v 1 , M 2 = A 2 +
− −− →
A 2 A 1 , , v 1
v 1 2 + t 1
v 1 .
Évidemment
− −−−→
M 1 M 2 =
− −− →
A 1 A 2 +
− −− →
A 2 A 1 , , v 1
v 1 2 v 1 est orthogonal à v 1 (et à v 2 ).
2 e cas : v 1 et v 2 sont linéairement indépendants. Dans ce cas, ∇ 2 f (t 1 , t 2 )
est définie positive pour tout (t 1 , t 2 ) ∈ R 2 ( v 1 2 > 0 et dét∇ 2 f (t 1 , t 2 ) =
4
v 1 2 v 2 2 − ( v 1 , , v 2 )
2 > 0
), et le problème (P) a une et une seule
solution
t 1 , t 2
. Ce
t 1 , t 2
est l’unique solution de (S) :
t 1 =
− −
− −− →
A 2 A 1 , , v 1 v 2 2 +
− −− →
A 2 A 1 , , v 2 v 1 , , v 2
v 1 2 v 2 2 − ( v 1 , , v 2 )
2
,
t 2 =
− −− →
A 2 A 1 , , v 2 v 1 2 − −
− −− →
A 2 A 1 , , v 1 v 1 , , v 2
v 1 2 v 2 2 − ( v 1 , , v 2 )
2
·
45