Chapitre I. Révision de bases : calcul différentiel...
[(i) ⇒ (ii)]. Supposons que (ii) ne soit pas réalisée. Pour tout n ∈ N ∗ il existe
donc un vecteur x n = 0 tel que
Qx n , x n + n Ax n
2
0,
soit encore, en posant u n := x n / x n ,
(∗) n
Qu n , u n
n
+ Au n 2 0.
On peut alors extraire de {u n } une sous-suite {u n k } k convergeant, lorsque
k −→ +∞, vers un vecteur u de norme 1. En passant à la limite dans l’inégalité (∗) n k , on obtient Au = 0. Or, d’après (i), Qu, u > 0, ce qui implique que
Qu n k , u n k > 0 pour k assez grand. Ceci contredit l’inégalité (∗) n k .
Commentaire : Il est clair que si Q + α 0 A A est définie positive pour un certain α 0 , il en est de même de Q + αA A dès que α α 0 .
** Exercice I.17. Soit A et B dans S n (R), A étant de plus définie positive. Montrer que :
– le spectre de AB est entièrement réel ;
– la plus grande valeur propre de AB est égal à sup u = 0
Bu, u
A −1 u, u
;
– AB est diagonalisable.
Indication. Considérer C := A 1/2 BA 1/2 ou, ce qui revient au même, la réduction
de la forme quadratique associée à B dans l’espace euclidien (R n , ·, ·· A ) avec
u, v A := Au, v.
Solution : Les valeurs propres de AB sont les racines de la fonction polynôme
caractéristique P (λ) = dét (AB − λI n ). Mais, en factorisant A 1/2 à gauche
dans AB − λI n , puis en multipliant à droite par A 1/2 , on constate que
(dét (AB − λI n ) = 0) ⇔ (dét (A
1/2 B − λA
−1/2 ) = 0)
⇔ (dét (A
1/2 BA
1/2
− λI n ) = 0).
Le spectre de AB est donc celui de la matrice symétrique A 1/2 BA 1/2 , entièrement constitué de réels.
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[(i) ⇒ (ii)]. Supposons que (ii) ne soit pas réalisée. Pour tout n ∈ N ∗ il existe
donc un vecteur x n = 0 tel que
Qx n , x n + n Ax n
2
0,
soit encore, en posant u n := x n / x n ,
(∗) n
Qu n , u n
n
+ Au n 2 0.
On peut alors extraire de {u n } une sous-suite {u n k } k convergeant, lorsque
k −→ +∞, vers un vecteur u de norme 1. En passant à la limite dans l’inégalité (∗) n k , on obtient Au = 0. Or, d’après (i), Qu, u > 0, ce qui implique que
Qu n k , u n k > 0 pour k assez grand. Ceci contredit l’inégalité (∗) n k .
Commentaire : Il est clair que si Q + α 0 A A est définie positive pour un certain α 0 , il en est de même de Q + αA A dès que α α 0 .
** Exercice I.17. Soit A et B dans S n (R), A étant de plus définie positive. Montrer que :
– le spectre de AB est entièrement réel ;
– la plus grande valeur propre de AB est égal à sup u = 0
Bu, u
A −1 u, u
;
– AB est diagonalisable.
Indication. Considérer C := A 1/2 BA 1/2 ou, ce qui revient au même, la réduction
de la forme quadratique associée à B dans l’espace euclidien (R n , ·, ·· A ) avec
u, v A := Au, v.
Solution : Les valeurs propres de AB sont les racines de la fonction polynôme
caractéristique P (λ) = dét (AB − λI n ). Mais, en factorisant A 1/2 à gauche
dans AB − λI n , puis en multipliant à droite par A 1/2 , on constate que
(dét (AB − λI n ) = 0) ⇔ (dét (A
1/2 B − λA
−1/2 ) = 0)
⇔ (dét (A
1/2 BA
1/2
− λI n ) = 0).
Le spectre de AB est donc celui de la matrice symétrique A 1/2 BA 1/2 , entièrement constitué de réels.
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