I.3. Fonctions convexes
De plus
λ max (AB) = λ max (A
1/2 BA
1/2 ) = sup
x = 0
A 1/2 BA 1/2 x, x
x, x
= sup
u = 0
Bu, u
A −1 u, u
en posant
u = A 1/2 x
.
Soit U une matrice orthogonale diagonalisant A 1/2 BA 1/2 :
U
−1 (A
1/2 BA
1/2 )U = diag(λ 1 , . . . , λ n ).
Alors P := A 1/2 U diagonalise AB :
P
−1 (AB)P = diag(λ 1 , . . . , λ n ).
Remarque : Si B est semi-définie positive (resp. définie positive) il en est de
même de A 1/2 BA 1/2 ; le spectre de AB est alors constitué de réels 0 (resp.
> 0).
** Probl` eme I.18. Les données sont les suivantes : N, M entiers 1, A matrice
symétrique définie positive de taille N, b ∈ R N , B matrice à M lignes et N
colonnes (M N ) non nulle. On désigne par ·, ·· le produit scalaire usuel aussi
bien dans R N que dans R M , et par · · la norme euclidienne associée.
On considère le problème de minimisation (dans R N ) suivant :
(P)
Minimiser f (x) :=
1
2 Ax, x − −b, x
sous la contrainte Bx = 0.
A – Existence, unicité, caractérisation des solutions de (P) :
1 ◦ ) Quelles sont les propriétés de f relatives à la différentiabilité, la convexité,
et le comportement à l’infini ?
2 ◦ ) Démontrer que (P) a une solution et une seule (que l’on notera x par la
suite).
3 ◦ ) a) Montrer que x est caractérisée (parmi les éléments de R N ) par le système
(S)
Bx = 0
Ax − b ∈ Im(B ).
b) Vérifier que f (x) = −
1
2 Ax, x = −
1
2 b, x :
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